Обнаружение сигнала

Обнаружение сигнала — статистический выбор между двумя гипотезами: наличие или отсутствие сигнала в шуме. Задача оптимального приёма сигналов.

Математическая модель

Допустим, что в принятом сигнале $r(t)$ может присутствовать или отсутствовать сигнал $s(t,\lambda )$, то есть принимаемый сигнал $r(t)$ равен $r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)$, где случайная величина $\alpha$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); $s(t,\lambda )$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [$0,T$] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала $s(t,\lambda )$ в $r(t)$, то есть оценить значение параметра $\alpha$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности $p_p$${}_r(t,\alpha =0)$ и $p_p$${}_r(t,\alpha =1)$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез . Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать $H_0$, а гипотезу о наличии сигнала — $H_1$.

Если априорные вероятности $P_{pr}(H_0)$ и $P_{pr}(H_1)$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) $R$:

$R=\sum _{i,k=0}^1{P}_{pr}(H_i)Q_{ik}\underset{X_k}{\int }W(x|H_i)dx$,

где {$Q_{ik}$} — матрица потерь, а $W(x|H_i)$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы $H_i$.

В этом случае, если априорные вероятности $P_{pr}(H_0)$ и $P_{pr}(H_1)$ неизвестны, то с пороговым значением $h_0$ сравнивается отношение правдоподобия $l_0$:

$l_0=\frac{F(r|H_1)}{F(r|H_0)}=exp(\frac{2}{N}\underset{0}{\overset{T}{\int }}r(t)s(t)dt-E/N)$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если $l_0>h_0$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Если априорные вероятности $P(H_0)$ и $P(H_1)$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей $l_1$ с некоторым пороговым значением $h_1$  :

$l_1=\frac{P_{ps}(H_1)}{P_{ps}(H_0)}=\frac{P_{pr}(H_1)}{P_{pr}(H_0)}exp(\frac{2}{N}\underset{0}{\overset{T}{\int }}r(t)s(t)dt-E/N)$

Если $l_1>h_1$, то принимается гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Технические средства обнаружения

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации, гидролокации и других областях техники.

См. также

• Теория обнаружения сигнала