Обобщённый интеграл энергии

Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависитШаблон:Sfn.

Формулировка

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_m}=0$

имеют обобщённый интеграл энергииШаблон:Sfn:

$h=\sum _{m=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m-L$

Вывод

Рассмотрим голономную систему, имеющую $s$ степеней свободы, с функцией Лагранжа

$L=L(q_m,{\dot{q}}_m,t)$,

зависящей от обобщённых координат $q_m$, обобщённых скоростей ${\dot{q}}_m$ и времени $t$, здесь и ниже всюду $m=1,2,...,s$.

Дифференцируя по времени функцию $L(q_m,{\dot{q}}_m,t)$, получаем

$\frac{dL}{dt}=\sum _{m=1}^s(\frac{\partial L}{\partial q_m}{\dot{q}}_m+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\ddot{q}}_m)+\frac{\partial L}{\partial t}$.

Из уравнений Лагранжа

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_m}=0$

следует, что

$\frac{\partial L}{\partial q_m}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}\right)$.

Тогда получаем:

$\frac{\partial L}{\partial q_m}{\dot{q}}_m+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\ddot{q}}_m=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}\right){\dot{q}}_m+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\ddot{q}}_m=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m\right)$.

Пользуясь этим, имеем:

$\frac{dL}{dt}=\sum _{m=1}^s(\frac{\partial L}{\partial q_m}{\dot{q}}_m+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\ddot{q}}_m)+\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{d}{dt}\sum _{m=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m+\frac{\partial L}{\partial t}$

Или:

$\frac{d}{dt}(\sum _{m=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m-L)+\frac{\partial L}{\partial t}=0$.

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ и $\frac{d}{dt}(\sum _{m=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m-L)=0$

Из этого следует:

$\sum _{m=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}{\dot{q}}_m-L=h$

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом ЯкобиШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга