Обобщённый метод моментов

Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; Шаблон:Lang-en) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность метода

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние

$\hat{m}(b)=\overline{g(x,b)},$

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

${\hat{b}}_{GMM}=\arg \underset{b}{\min }\hat{m}(b{)}^{T}W\hat{m}(b),$

где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано,Шаблон:Нет АИ что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций $W=V_g^{-1}$. Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций ${\hat{V}}_g=\overline{g(x,\hat{b})g(x,\hat{b}{)}^T}$ и используют полученную оценку в эффективном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции ${\hat{m}}^T(b){\hat{V}}_g^{-1}(b)\hat{m}(b)$ по неизвестным параметрам $b$. Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства метода

Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

$\sqrt{n}({\hat{b}}_{GMM}-b)\stackrel{d}{\to }N(0,V_b).$

В общем случае

$V_b=(G^{T}WG{)}^{-1}{G}^{T}W{V}_{g}WG(G^{T}WG{)}^{-1}$

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

$V_b=G^T{V}_g^{-1}G.$

J-тест

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

$J=n{\hat{m}}^T(\hat{b}){\hat{V}}_g^{-1}\hat{m}(\hat{b})\stackrel{d}{\to }{\chi }^2(q-k).$

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения ${\chi }^2(q-k)$ при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. также

• Метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Метод максимального правдоподобия

Литература

• Шаблон:Книга