Обратная постоянная Фибоначчи

Обратная постоянная Фибоначчи (обозначение — $\psi$) определяется как сумма бесконечного ряда чисел, обратных чисел Фибоначчи:

$\psi =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\frac{1}{21}+\cdots .$

Поскольку при неограниченном увеличении номера k число $\frac{F_k}{F_{k+1}}$ приближается к величине ${\phi }^{-1}=0,6180339887...,$ обратной золотому сечению, которая по модулю меньше единицы, то по признаку Д’Аламбера сумма сходится.

Один из алгоритмов быстрого численного приближения его значения был описан Биллом Госпером. Обратный ряд Фибоначчи сам по себе обеспечивает $O(k)$ знаков точности для k членов разложения, где $O$ — o «большое», в то время как ускоренный ряд Госпера обеспечивает $O(k^2)$ знаков. Число $\psi$ иррационально: предположение об этом было высказано Полом Эрдёшем, Рональдом Грэмом и Шаблон:Iw и доказано в 1989 году Ричардом Андре-Жаннином.

Представление константы в виде непрерывной дроби:

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,$
$2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ].$ (Шаблон:OEIS)

Источники

• Шаблон:MathWorld