Объёмный модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости (другие названия: модуль объёмного сжатия, модуль всестороннего сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около Шаблон:Число; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на Шаблон:Число необходимо приложить внешнее давление величиной Шаблон:Число. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на Шаблон:Число объём воды уменьшается на Шаблон:Число. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa»).

Определение

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

$K=-V\frac{dp}{dV},$

где $p$ — давление, а $V$ — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия.

Можно показать, что в случае изотропного тела модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламэ $\lambda$:

$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$

$K=\frac{EG}{3(3G-E)}.$

$K=\frac{E+3\lambda +\sqrt{E^2+9{\lambda }^2+2E\lambda }}{6}.$

$K=\frac{2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}.$

$K=\frac{\lambda (1+\nu )}{3\nu }.$

$K=\lambda +\frac{2G}{3}.$

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический $K_T$), при постоянной энтропии (адиабатический $K_S$) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа $p=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}{V}$ следует:

$K_T=P.$

Используя уравнение адиабаты $p\cdot V^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$ можно получить

$K_S=\gamma P,$

где $\gamma$ — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости Шаблон:Math и плотность Шаблон:Math определяют скорость звука Шаблон:Math (Шаблон:Нп1), согласно формуле Ньютона — Лапласа

$c=\sqrt{\frac{K}{\rho }}.$

Измерение

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции, акустополяризационного метода (для твёрдых сред).

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (Шаблон:Math) для некоторых материалов

Материал	Объёмный модуль упругости в ГПа
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	от Шаблон:Val до Шаблон:Val
Сталь	Шаблон:Val
Алмаз	Шаблон:Val

Влияние некоторых примесей, добавляемых в стекло, на его объёмный модуль упругости

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (Шаблон:Math) для других веществ

Вода	Шаблон:Val (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух	Шаблон:Val (адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух	Шаблон:Val (изотермический объёмный модуль упругости)
Твёрдый гелий	Шаблон:Val (приблизительно)