Окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо на торе.

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо — пара окружностей, получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора. В силу симметрии тора эта плоскость касается поверхности тора дважды, то есть является бикасательной.

Названы в честь французского астронома и математика Ивона Вилларсо.

Семейства параллелей, меридианов и два семейства окружностей Вилларсо вкупе составляют четыре попарно трансверсальных семейства окружностей на торе.. Таким же свойством — иметь четыре попарно трансверсальных семейства окружностей — обладают циклиды Дюпена (конформные образы тора вращения).

Формулу для окружностей можно получить перемножением уравнений двух пересекающиеся окружности радиуса $r$ и $R$ ($r<R$):

$(x+r{)}^2+y^2-R^2=0$,

$(x-r{)}^2+y^2-R^2=0$,

то есть в виде:

$(x^2+y^2{)}^2-2(R^2+r^2)x^2-2(R^2-r^2)y^2+(R^2-r^2{)}^2=0$.

Это уравнение четвёртого порядка задаёт две пересекающиеся окружности и, очевидно, является формулой торического сечения. В точках пересечения окружностей пересекаются кривые, принадлежащие одновременно плоскости сечения и поверхности тора. Поэтому в этих точках секущая плоскость касается поверхности тора.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга