Основная теорема аффинной геометрии

Основная теорема аффи́нной геометрии говорит, что биективное отображение евклидовой плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием, то есть оно записывается в координатах как

$(x,y)\mapsto (a\cdot x+b\cdot y+v,c\cdot x+d\cdot y+w)$

для каких-то констант $a,b,c,d,v,w$.Шаблон:Sfn В частности из теоремы следует, что любое такое отображение непрерывно.

Так называются и обобщения этого результата на пространства высших размерностей, а так же на вектроные пространства над другими полями и телами. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.Шаблон:Sfn

Формулировка

Пусть $V$ — векторное пространство над телом $K$, $V^{\prime }$ — векторное пространство над телом $K^{\prime }$. Определим полулинейное отображение как отображение $f:V\to V^{\prime }$, удовлетворяющее свойству

$f(\lambda x+\mu y)=\varphi (\lambda )f(x)+\varphi (\mu )f(y)\mathrm{\forall }x,y\in V\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K,$

где $\varphi$ — изоморфизм тел $K$ и $K^{\prime }$. Пусть $S$ и $S^{\prime }$ — аффинные пространства, ассоциированные с $V$ и $V^{\prime }$ соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение $F:S\to S^{\prime }$, удовлетворяющее свойству

$F(A)-F(B)=f(A-B)\mathrm{\forall }A,B\in S,$

где $f:V\to V^{\prime }$ — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение $F:S\to S^{\prime }$ удовлетворяет следующим условиям:

• $\dim \mathtt{\text{<mo>\&lt;</mo>}}F(S)\mathtt{\text{<mo>\&gt;</mo>}}\ge 2$
• Если $K,K^{\prime }\ne \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, то образ любой прямой прямая или точка
• Если $K=K^{\prime }=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда $F$ — полуаффинное отображение.Шаблон:Sfn

Вариации и обобщения

• Шаблон:Якорь Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.Шаблон:Sfn

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем $ℝ$ являются аффинными, так как на $ℝ$ есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность $F$, конечномерность $S$ и $S^{\prime }$, а также совпадение их размерностей, то в случае $K,K^{\prime }\ne \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.Шаблон:Sfn

Применение

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга