Отображение Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Формулировка

Предположим, что $P\subset ℂ$ — некоторый $n$-угольник, а функция $f$ осуществляет конформное отображение ${ℍ}^{+}$ на $P$. Тогда $f$ можно представить в виде

$f(z)=C_1\underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n(\zeta -a_k{)}^{{\alpha }_k-1}d\zeta +C_2$,

где $a_1,\dots ,a_n$ — прообразы вершин $P$ на вещественной оси, также называемые акцессорными параметрами, ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на $\pi$ (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а $C_1$ и $C_2$ — комплексные константы, определяющие поворот, растяжение и сдвиг. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если $n$-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

$f(z)=C_1\underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_k{)}^{{\alpha }_k-1}d\zeta +C_2$,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки $a_1,\dots ,a_n$, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля