Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$, коэффициент упругости $k$ и коэффициент затухания $\beta$. Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$, то уравнение движения имеет вид

$\frac{d}{dt}(m\dot{x})+\beta \dot{x}+kx=0,$

$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$ →$\tau$, где $d\tau =dt/m(t)$, что приводит уравнение (1) к виду

$\frac{d^{2}x}{d{\tau }^2}+\beta \frac{dx}{d\tau }+kmx=0,$

$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\tau )$ → $q(\tau )$:

$q(\tau )={\exp }^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\beta (\xi )d\xi ,$

$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

$\frac{d^{2}q}{d{\tau }^2}+{\delta }^2(\tau )q=0,{\delta }^2(\tau )=km-\frac{\dot{\beta }}{2}-\frac{{\beta }^2}{4},$

$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^2(t)x=0,$

$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты ${\omega }^2(t)={\omega }_0^2$, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\omega (t)$ уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости $\omega (t)$ — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда ${\omega }^2(t)={\omega }_0^2[1+h\cos ({\omega }_0+\epsilon )t]$, то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^2[1+h\cos ({\omega }_0+\epsilon )t]x=0,$

$(6)$

Где ${\omega }_0$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h\ll 1$, постоянная $\epsilon \ll {\omega }_0$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\epsilon$, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

$-\frac{5}{24}<\frac{\epsilon }{h^2{\omega }_0}<\frac{1}{24},$

$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда ${\omega }^2(t)={\omega }_0^2[1+h\cos (2{\omega }_0+\epsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^2[1+h\cos (2{\omega }_0+\epsilon )t]x=0,$

$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2{\omega }_0+\epsilon$. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^2$, происходит в случае, когда

$-\frac{1}{32}h-\frac{1}{2}<\frac{\epsilon }{h{\omega }_0}<-\frac{1}{32}h+\frac{1}{2},$

$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

$\ddot{\varphi }+{\omega }_0^2[1+\frac{4a}{l}\cos (2{\omega }_0+\epsilon )t]\varphi =0,$

$(10)$

где ${\omega }_0^2=\frac{g}{l}$, и $h=\frac{4a}{l}$. В случае, когда $a\ll l$ и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$, получим, что

$-\frac{2a\sqrt{g}}{l^{\frac{3}{2}}}<\epsilon <\frac{2a\sqrt{g}}{l^{\frac{3}{2}}},$

$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\omega ={\omega }_0$ и её удвоенного значения $\omega =2{\omega }_0$, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^2[1+h\cos (\omega t)]x=0,$

$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

$\omega =\frac{2{\omega }_0}{n},n=1,2,...,$

$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ${\omega }_0$, а ширина резонанса равна $h{\omega }_0$. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+3\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^2[1+h\cos (\omega t)]x=0,$

$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h\ll 1$, а лишь при тех $h>\frac{4\gamma }{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$. Т.о., при наличии трения

$\frac{4\gamma }{{\omega }_0^2-\gamma }<h\ll 1,$,

$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\gamma$,${\omega }_0$, и $h$, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.