Плоский оптический волновод

Плоские оптические волноводы — тонкие диэлектрические плёнки с малым поглощением на прозрачной подложке с относительно малым поглощением, пространственно неоднородные прозрачные структуры для направления света. Применяются в качестве передающей среды в системах оптической связи. Примерами использования плоских оптических волноводов служат : датчик веса, датчик концентрации аммиака в атмосфере, интегрально-оптические датчики газовых примесей, межсоединения в печатных платах и гибридных интегральных схемах, многоканальные оптические разветвители и др.

Изготавливаются на поверхности монокристаллической подложки с использованием методов фотолитографии в комплексе с методами термодиффузии, имплантации, эпитаксиального наращивания, ионного обмена и осаждения. Типичные значения разности между показателями преломления пленки и подложки лежат в диапазоне от $10^{-3}$ до $10^{-1}$, а типичная толщина пленки составляет 1 мкм.

Геометрическая оптика плоских волноводов

Распространение света в плоском волноводе описывается на примере распространения одного из световых лучей, который ограничивается в сердечнике (плёнке), испытывая многократные полные или частичные внутренние отражения (так как показатель преломления сердцевины $n_1$ всегда выше, чем показатели преломления подложки или оболочки $n_2$ и $n_3$ — покровного слоя). Условие для эффекта полного внутреннего отражения :

Угол падающего луча должен быть больше некоторого критического угла, зависящего от величин показателей преломления.

$\mathrm{\Theta }>\mathrm{\Theta }$_кр

$\sin \mathrm{\Theta }=$$\frac{n_2}{n_1}$

(условия одинаковы для границ раздела сердцевина-подложка и сердцевина-покровный слой)

На границу двух изотропных, однородных диэлектрических сред без потерь (с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ или $n_1$ и $n_3$) падает когерентная световая волна, нормаль к волновой поверхности которой образует с нормалью к границе раздела угол ${\mathrm{\Theta }}_1$.

Для плоской границы раздела диэлектриков закон Снеллиуса утверждает, что :

• падающий, отражённый и преломлённый лучи лежат в одной плоскости
• волна с комплексной амплитудой А на границе раздела частично отражается и частично преломляется.
• угол отражения равен углу падения
• угол преломления связан с углом падения соотношением :

$\sin {\mathrm{\Theta }}_2/\sin {\mathrm{\Theta }}_1=n_1/n_2=\surd {\epsilon }_1/{\epsilon }_2$

На границах подложка-сердцевина или покровный слой-сердцевина комплексная амплитуда преломленной волны В линейно связана через комплексный коэффициент отражения R с комплексной амплитудой А:

$B=R\cdot A$

Коэффициенты отражения и пропускания влияют на фазовый сдвиг волны. Выражения для них непостоянны и зависят от угла падения света. Выделим два случая падения световой волны на границы раздела волновода — перпендикулярный и неперпендикулярный.

Для неперпендикулярного падения волны на границу раздела плоского волновода мы получим разные значения коэффициентов для разных вариантов поляризации:

1) ТЕ- поляризация (вектор электрического поля перпендикулярен плоскости падения)

Коэффициент отражения Френеля

$R=\frac{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_1-n_2\cos {\mathrm{\Theta }}_2}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_1+n_2\cos {\mathrm{\Theta }}_2}=\frac{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_1-\surd n_2^2-n_1^2\sin {\mathrm{\Theta }}_1}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_1+\surd n_2^2-n_1^2\sin {\mathrm{\Theta }}_1}$

Коэффициент пропускания Френеля

$T=\frac{\sin 2{\mathrm{\Theta }}_1\sin 2{\mathrm{\Theta }}_3}{{\sin }^2({\mathrm{\Theta }}_1+{\mathrm{\Theta }}_2)}$

${\mathrm{\Theta }}_1-$угол падения, ${\mathrm{\Theta }}_2-$угол преломления, ${\mathrm{\Theta }}_3-$угол отражения (равен углу падения)

2) ТМ-поляризация (магнитные поля перпендикулярны плоскости падения)

Коэффициент отражения Френеля

$R=\frac{n_2\cos {\mathrm{\Theta }}_1-n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_2}{n_2\cos {\mathrm{\Theta }}_1+n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_2}=\frac{n_2^2\cos {\mathrm{\Theta }}_1-n_1\surd n_2^2-n_1^2\sin {\mathrm{\Theta }}_1}{n_2^2\cos {\mathrm{\Theta }}_1+n_1\surd n_2^2-n_1^2\sin {\mathrm{\Theta }}_1}$

Коэффициент пропускания Френеля

$T=\frac{\sin 2{\mathrm{\Theta }}_1\sin 2{\mathrm{\Theta }}_2}{{\sin }^2({\mathrm{\Theta }}_1+{\mathrm{\Theta }}_2){\cos }^2({\mathrm{\Theta }}_1-{\mathrm{\Theta }}_2)}$

При перпендикулярном падении волны на границу раздела плоского волновода значение коэффициентов Френеля для обеих поляризаций одинаковы и описываются выражениями:

$R=(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}{)}^2$

$T=\frac{4n_1{n}_2}{(n_1+n_2{)}^2}$ Во всех вышеуказанных случаях сумма коэффициентов отражения и пропускания для плоской границы раздела между двумя диэлектриками с действительными диэлектрическими проницаемостями равна единице.

Коэффициент отражения может обращаться в нуль только для волн поляризованных в плоскости падения и падающих под углом Брюстера :

$tg{\mathrm{\Theta }}_1=\frac{n_2}{n_1}$

Коэффициент пропускания обращается в нуль для обеих поляризаций волны при падении под критическим углом. Коэффициент отражения под этим углом и под превышающими углами равен единице.

При углах, превышающих критический, наступает полное внутреннее отражение и во второй диэлектрической среде имеется только одна затухающая волна. При увеличении угла падения эта волна быстро затухает :

$E_1=E_2\cdot e^{-iwt+i\beta z+\alpha x}$

Где $\beta =k{n}_{1}sin{\mathrm{\Theta }}_1$, $\alpha =k{n}_1\surd (si{n}^2\mathrm{\Theta }-\frac{n_2^2}{n_1^2})$

Отражённая волна претерпевает сдвиг фазы, величина которого определяется выражениями :

для ТМ-мод

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}\mathrm{M}}=\frac{\frac{n_1^2}{n_2^2}\cdot \surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

для ТЕ-мод

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}E}=\frac{\surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

Для пучка света с конечным поперечным сечением при отражении происходит сдвиг оси пучка, называемый сдвигом Гуса-Хэнкена :

$z_s=\frac{1}{2k{n}_{1}cos{\mathrm{\Theta }}_1}\cdot \frac{d\delta }{d{\theta }_1}$

Подставляя это выражения в выражения для сдвигов фаз, получаем :

1) для перпендикулярного падения волны (ТЕ-моды)

$z_s=\frac{tg{\mathrm{\Theta }}_m}{k\surd (n_1^{2}si{n}^2{\mathrm{\Theta }}_m-n_2^2)}$

2) для неперпендикулярного падения волны (ТМ-моды)

$z_s=\frac{n_2^{2}tg{\mathrm{\Theta }}_m}{k\surd (n_1^{2}si{n}^2{\mathrm{\Theta }}_m-n_2^2)\cdot (n_1^{2}si{n}^2{\mathrm{\Theta }}_m-n_2^{2}co{s}^2{\mathrm{\Theta }}_m)}$

При рассмотрении плоской («асимметричной») волноводной структуры, состоящей из пленки, подложки и покровного слоя (чаще всего — воздуха) справедливо неравенство $n_1>n_2>n_3$ и существуют два критических yглa: угол полного внутреннего отражения ${\mathrm{\Theta }}_{13}$ на границе раздела пленка — подложка и yгол полного внутреннего отражения ${\mathrm{\Theta }}_{23}<{\mathrm{\Theta }}_{13}$ на границе раздела пленка — покровный слой. Когда угол падения $\mathrm{\Theta }$ настолько велик, что $\mathrm{\Theta }>{\mathrm{\Theta }}_{13},{\mathrm{\Theta }}_{23}$ то наблюдается полное внутреннее отражение на обеих границах раздела. То есть, свет будет распространяться в ней волноводным образом по зигзагообразному пути. Этот случай соответствует распространению волноводной моды.

Некоторые из дисперсионные свойств диэлектрического волновода описывает b-V диаграмма

Литература

К.Хельмут. В.Лотш. Проблемы прикладной физики. Часть 7. Интегральная оптика/ Под ред. Т.Тамира — М: Изд-во Мир, 1978. — 344 с.