Полиномиальная иерархия

В теории сложности полиномиальная иерархия — это иерархия классов сложности, которая обобщает классы P, NP, co-NP до вычислений с оракулом.

Определение

Существует множество эквивалентных определений классов полиномиальной иерархии. Приведём одно из них.

Для определения оракула в полиномиальной иерархии определим

${\mathrm{\Delta }}_0^{\mathrm{P}}:={\mathrm{\Sigma }}_0^{\mathrm{P}}:={\mathrm{\Pi }}_0^{\mathrm{P}}:=\text{P},$

где P — это множество задач, решаемых за полиномиальное время. Тогда для i ≥ 0 определим

${\mathrm{\Delta }}_{i+1}^{\mathrm{P}}:={\text{P}}^{{\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}}$

${\mathrm{\Sigma }}_{i+1}^{\mathrm{P}}:={\text{NP}}^{{\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}}$

${\mathrm{\Pi }}_{i+1}^{\mathrm{P}}:={\text{coNP}}^{{\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}}$

Где A^B — множество задач, решаемых машиной Тьюринга в классе A, расширенным с помощью оракула для какой-то задачи из класса B. Например, ${\mathrm{\Sigma }}_1^{\mathrm{P}}=\mathrm{N}\mathrm{P},{\mathrm{\Pi }}_1^{\mathrm{P}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{N}\mathrm{P}$, и ${\mathrm{\Delta }}_2^{\mathrm{P}}={\mathrm{P}}^{\mathrm{N}\mathrm{P}}$ — это класс задач, решаемых за полиномиальное время с оракулом для какой-нибудь задачи из NP.

Отношения между классами в полиномиальной иерархии

Определения предполагают следующие отношения:

${\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{i+1}^{\mathrm{P}}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_{i+1}^{\mathrm{P}}$

${\mathrm{\Pi }}_i^{\mathrm{P}}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{i+1}^{\mathrm{P}}\subseteq {\mathrm{\Pi }}_{i+1}^{\mathrm{P}}$

${\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{\Pi }}_i^{\mathrm{P}}$

В отличие от арифметических и аналитических иерархий, все включения в которых строги, в полиномиальной иерархии вопрос о строгости всё ещё открыт.

Если какой-нибудь ${\mathrm{\Sigma }}_k^{\mathrm{P}}={\mathrm{\Sigma }}_{k+1}^{\mathrm{P}}$, или какой-нибудь ${\mathrm{\Sigma }}_k^{\mathrm{P}}={\mathrm{\Pi }}_k^{\mathrm{P}}$, тогда иерархия сжимается до уровня k: для всех $i>k$, ${\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{P}}={\mathrm{\Sigma }}_k^{\mathrm{P}}$. На практике это означает, что равенство классов P и NP полностью разрушает полиномиальную иерархию.

Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом PH.

Полиномиальная иерархия является аналогом (меньшей сложности) для арифметической иерархии.

Известно, что PH содержится в PSPACE, но не известно равны ли эти два класса.

• Полезная переформулировка последней задачи: PH = PSPACE тогда и только тогда, когда логика второго порядка не получает дополнительной мощности при добавлении оператора транзитивного замыкания.

Каждый класс в полиномиальной иерархии содержит $\underset{\mathrm{m}}{\overset{\mathrm{P}}{\le }}$-полные задачи (задачи полны относительно сведения по Карпу за полиномиальное время).