Полиномиальная сводимость

Любой язык $L_1$ называется сводимым по Карпу к языку $L_2$, если существует функция $F:{\mathrm{\Sigma }}^{*}\mapsto {\mathrm{\Sigma }}^{*}$, вычисляемая за полиномиальное время, где F(x) принадлежит $L_2$ в том случае, если x принадлежит $L_1$. Язык называется NP-трудным, если к нему сводится любой язык NP класса, и называется NP-полным, если он NP-труден и сам сводится к NP классу. Если будет алгоритм, решающий NP-полную задачу за полиномиальное время, тогда все NP-задачи относятся к классу P.

Рассмотрим два языка $L_1$ и $L_2$ над алфавитами $\mathrm{\Sigma }$ и $\mathrm{\Gamma }$. Сведение $L_1$ к $L_2$ по Карпу — это функция $f:{\mathrm{\Sigma }}^{*}\mapsto {\mathrm{\Gamma }}^{*}$, вычислимая за полиномиальное время, такая, что $\mathrm{\forall }x(x\in L_1\iff f(x)\in L_2)$. Таким образом, неформально язык $L_1$ «не сложнее» языка $L_2$.

Если такая функция $f$ существует, говорят, что $L_1$ сводима по Карпу к $L_2$ и пишут

$L_1{⩽}_K{L}_2.$

Отметим, что сведение по Карпу является частным случаем сведения по Куку. В англоязычных источниках также можно встретить название en:many-one reduction.

Класс языков PSPACE — множество языков, допустимых детерминированной машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Класс языков NPSPACE — множество языков, допустимых недетерминированной машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Транзитивность

Главным свойством сведение по Карпу является транзитивность. Если представить языки в виде символов, то можно рассматривать как математическую операцию: Α>Β, Β>Ε → Α>Ε.

См. также

• Понятие сведения. Список.

Ссылки

• Курс «Введение в структурную теорию сложности»
• Хопкфрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.
• М. Н. Вялый, Сложность вычислительных задач Шаблон:Wayback — определение на функциях, без понятий «язык», «алфавит» и т. п.