Поличисла

Алгебра поличисел $P_n$ реализуется элементами $A\in P_n$

$A=A_1{e}_1+\dots +A_n{e}_n,$

где $A_i\in ℝ,$ а $e_i$ — набор образующих $P_n$, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

$e_i{e}_j=0(i\ne j),e_i^2=e_i,$

а сама представляет собой следующий объект (прямая сумма):

$P_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{n}{\underbrace{ℝ\oplus ℝ\oplus \cdots \oplus ℝ}}={⨁}^nℝ={ℝ}^n.$

Поличисла (n-числа)

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все $A_i\ne 0$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

$I=e_1+\dots +e_n$.

На алгебре $P_n$ существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

$A^{(1)}=A^{\ast }=A_n{e}_1+A_1{e}_2+\dots +A_{n-1}{e}_n,$

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла $A$. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

$A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast }{)}^{\ast }{)}^{\dots }{)}^{\ast }$ ($k$ — раз)

Очевидно, что $A^{(n)}=A.$

Рассмотрим поличисло вида

$N(A)=A{A}^{(1)}{A}^{(2)}\dots A^{(n-1)},$ (1)

где $A\in P_n$.

Нетрудно проверить, что $N(A)$ вещественно в том смысле, что

$N(A)=r^{n}I,$ где $r^n\in R$.

Число $r$ называется (квази)нормой поличисла $A$. Квазинорма $r$ выражается через координаты поличисла $A$ по формуле :

$r^n=A_1{A}_2\dots A_n=G(A,A,\dots ,A)$,       (2)

где $G$ — n-форма

$G=\hat{S}(d{x}^1\otimes \cdots \otimes d{x}^n)$,             (3)

$\hat{S}$ — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой $N(A)$, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы $|z{|}^2=z{z}^{\ast }$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

$(\zeta ,\xi )=\mathrm{R}\mathrm{e}(\zeta \xi )$,

где $\zeta ,\xi \in ℂ$, можно рассмотреть n-линейную форму

$(A,B,\dots ,Z)=\text{Re}(AB\dots Z)=\sum _{\sigma (A,B,\dots ,Z)}A{B}^{(1)}{C}^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,\dots ,Z).$      (4)

Здесь суммирование производится по множеству $\sigma (A,B,\dots ,Z)$ всех перестановок элементов $A,B,\dots ,Z\in P_n$. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел $P_n$ является прямой суммой $n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $ℝ$. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит $n$ гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра $P_{n,m},$ представляющая собой прямую сумму $n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $ℝ$ и $m$ экземпляров алгебры комплексных чисел $ℂ$.

Литература

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
• М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
• Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
• С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121