Поток (интуиционизм)

Шаблон:Другие значения Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

Поток $M$ определяется как совокупность двух законов ${\mathrm{\Lambda }}_M$ и ${\mathrm{\Gamma }}_M$, называемых законом потока и дополнительным законом соответственно. Закон потока ${\mathrm{\Lambda }}_M$ делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые и должен обладать следующими свойствами:

1. Пустой кортеж $⟨⟩$ является допустимым.
2. Для любого допустимого кортежа $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ найдётся по меньшей мере одно натуральное число $k$, для которого кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n,k⟩$ также будет допустимым.
3. Для любого допустимого кортежа вида $⟨a_1,\dots ,a_n,k⟩$ кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ также является допустимым.

Дополнительный закон ${\mathrm{\Gamma }}_M$ сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, для которых при любом $n$ кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ является допустимым по закону потока $M$, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности $\{{\mathrm{\Gamma }}_M(a_k){\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ (где ${\mathrm{\Gamma }}_M$ — дополнительный закон потока $M$) называются элементами потока $M$.

Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

Применение в интуиционистской математике

На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум $[0,1]$ нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

1. допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны $1$ или $2$;
2. если допустимому кортежу $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ дополнительным законом сопоставлен отрезок $[a,b]$, то кортежу $⟨a_1,\dots ,a_n,1⟩$ сопоставляется отрезок $[a,(a+b)/2]$, а кортежу $⟨a_1,\dots ,a_n,2⟩$ — отрезок $[(a+b)/2,b]$.

Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке $[0,1]$.

Запирающие условия и бар-индукция

Пусть $𝒦$ — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ найдётся номер $n$, для которого кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ удовлетворяет условию $𝒦$. В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения: Шаблон:Рамка Пусть условие $𝒦$ запирает поток $M$, и пусть условие $𝒯$, накладываемое на допустимые кортежи потока $M$, обладает следующими свойствами:

1. Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию $𝒦$, удовлетворяет условию $𝒯$.
2. Если все допустимые кортежи вида $⟨a_1,\dots ,a_n,k⟩$ удовлетворяют условию $𝒯$, то допустимый кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ также удовлетворяет условию $𝒯$.

В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию $𝒯$. Шаблон:Конец рамки Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере: Шаблон:Рамка Если поток $M$ финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие $𝒦$ запирает поток $M$, то найдётся такое натуральное число $N$, что для любой допустимой свободно становящейся последовательности $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ найдётся удовлетворяющий условию $𝒦$ кортеж $⟨a_1,\dots ,a_n⟩$ со свойством $n<N$. Шаблон:Конец рамки

В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «лемма Кёнига о бесконечном пути».