Правило Рунге

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге

Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
${\mathrm{\Delta }}_{2n}\approx \mathrm{\Theta }|I_{2n}-I_n|$, для формул левых и правых прямоугольников $\mathrm{\Theta }=1$, для формул средних прямоугольников и трапеций $\mathrm{\Theta }=\frac{1}{3}$, а для формулы Симпсона $\mathrm{\Theta }=\frac{1}{15}$. В общем случае $\mathrm{\Theta }=\frac{1}{2^p-1}$. Под $p$ понимается порядок погрешности использованного численного метода.

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов $N=n_0,2n_0,4n_0,\dots$, где $n_0$ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие ${\mathrm{\Delta }}_{2n}<\epsilon$, где $\epsilon$ — заданная точность.

Оценка точности численного решения ОДУ

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h ($y_{i,h}$) и второй — с шагом h/2 ($y_{i,h/2}$). Формула

$\frac{|y_{i,h}-y_{i,h/2}|}{2^p-1}$

дает погрешность решения $y_{i,h/2}$. Под $p$ понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

$\frac{1}{15}|y_{i,h}-y_{i,h/2}|$

Литература

• РУНГЕ ПРАВИЛО // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
• Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962;
• Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1979. А. Б. Иванов.

Ссылки

• Осокин А. Е., 4.7 Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона. Шаблон:Wayback // ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Шаблон:Wayback, Горно-Алтайский государственный университет, 2002