Предельный ординал

Ординал $\alpha$ называется предельным, если не существует ординала $\beta$ такого, что $\alpha =\beta +1$.

Пусть $\alpha$ — предельный ординал. Конфинальностью $\alpha$ называется число $\text{cf}(\alpha )$, равное наименьшему $\beta$, для которого существует функция $f$ из $\beta$ в $\alpha$ и $\sup f(\xi )=\alpha$. Кардинал ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ называется регулярным, если $\text{cf}({\omega }_{\alpha })={\omega }_{\alpha }$, сингулярным — если $\text{cf}({\omega }_{\alpha })<{\omega }_{\alpha }$.