Преобразование Вигнера — Вилла

Преобразование Вигнера — Вилла (Шаблон:Lang-en) — один из эффективных методов спектрально-временного анализа нестационарных сигналовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Встречаются другие названия: преобразование Вигнера — Вилля, распределение Вигнера — Вилла (Шаблон:Lang-en), распределение Вигнера — Вилля, функция Вигнера.

Вычисление

$P(\tau ,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(\tau +\frac{t}{2})\cdot s^{*}(\tau -\frac{t}{2})\cdot e^{-j2\pi ft}dt$

Распределение $P(\tau ,f)$ может принимать только действительные значения (включая отрицательные).

Несмотря на высокое разрешение как по частоте, так и по времени, распределение может порождать побочные частотные компонентыШаблон:SfnШаблон:Sfn, затрудняющие анализ сигнала. Это связано с нелинейностью преобразования.

Существует несколько методов, позволяющих уменьшить интенсивность побочных компонент, используя определённые процедуры усреднения. Один из них − использование окна h(t) во временной области. В результате получается так называемое псевдопреобразование ВигнераШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$P(\tau ,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)\cdot s(\tau +\frac{t}{2})\cdot s^{*}(\tau -\frac{t}{2})\cdot e^{-j2\pi ft}dt$

Если окно прямоугольное:

$h(t)=\{\begin{array}{cc}1,& -t_0\le t\le t_0\\ 0,& |t|>t_0\end{array}\text{<mo>,</mo>}$

то при $t_0\to \mathrm{\infty }$ псевдопреобразование Вигнера переходит в обычное преобразование Вигнера — Вилла. При уменьшении t₀ интенсивность побочных спектральных компонент снижается, плата за это — ухудшение частотного разрешения.

При анализе оцифрованного сигнала псевдопреобразование Вигнера удобнее вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) в скользящем окнеШаблон:Sfn. Для этого перед вычислением процедуры БПФ выборку из сигнала s[n], выделенную скользящим окном размером N_win отсчетов, преобразуют по следующему алгоритму:

если размер окна нечётный, то

$\begin{array}{cc}{s}_1[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-1],& n=0,1,\dots ,N_{win}-1,\end{array}$

для четного размера окна

$\begin{array}{cc}{s}_1[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-2],& n=0,1,\dots ,N_{win}-2,\\ s_1[N_{win}-1]=s[N_{win}-1]\cdot s^{*}[N_{win}-1];& \end{array}$

чтобы результат процедуры БПФ получился действительным, необходимо перед её вычислением выполнить циклическую перестановку полученного сигнала s₁[n] влево на (N_win−1)/2 (если Nwin — нечётное) или на N_win/2-1 (если N_win — четное).

При построении вычисленного спектрально-временного распределения все значения на шкале частот следует разделить на 2

Пример использования

Для иллюстрации метода пригодна бесплатная компьютерная программа PSE LabШаблон:Sfn.

Результат построения спектрально-временного распределения для сигнала, смоделированного на компьютере:

$s[n]=\exp (j\cdot (2\pi \cdot 0.05\cdot n+100\cdot \sin (2\pi \cdot 0.0005\cdot n)))+\exp (j\cdot (2\pi \cdot 0.1\cdot n+200\cdot \sin (2\pi \cdot 0.0005\cdot n))),$

состоящего из двух ЧМ компонент, мгновенная цифровая частота одной из них меняется по синусоидальному закону в диапазоне от 0 до 0,1, а другой — от 0 до 0,2, приведены на рисунках.

Рис. 1. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 500 отсчетов).

Рис. 2. Спектрограмма (размер окна = 500 отсчетов).

Рис. 3. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 2000 отсчетов).

На рис. 1 представлено спектрально-временное распределение энергии, полученное с помощью псевдопреобразования Вигнера c размером окна N_win=500 отсчетов. По оси абсцисс отложено время (увеличивается слева-направо), по оси ординат — цифровая частота. Более темные участки распределения соответствуют большей интенсивности.

Для сравнения, на рис. 2 представлена Фурье-спектрограмма, вычисленная с таким же размером окна.

Качественно можно видеть, что спектрально-временное распределение Вигнера — Вилла (рис. 1) имеет более высокое частотно-временное разрешение, по сравнению со спектрограммой (рис. 2).

При увеличении размера окна количество и интенсивность побочных частотных компонент в распределении Вигнера — Вилла увеличиваются, что может осложнить анализ основных частотных компонент (рис. 3).

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web.
• Некоторые оконные функции и их параметры.