Приближение Буссинеска

Шаблон:Механика сплошных сред Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссине́ска, приближение Буссине́ска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:

${\rho }_0(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v})=-\mathrm{\nabla }p+\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}+\rho (T)\overrightarrow{g},$

$\frac{\partial T}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }T=\chi \mathrm{\Delta }T,$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0,$

где $\overrightarrow{v}$ — скорость течения, $T$ — абсолютная температура, $p$ — давление, $\eta$ — динамическая вязкость, $\chi$ — коэффициент температуропроводности, $\overrightarrow{g}$ — ускорение свободного падения.

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

$\rho (T)={\rho }_0(1-\beta \theta )$,

где $\beta$ — коэффициент объёмного расширения, $\theta =T-T_0$ — отклонение температуры от равновесного состояния, ${\rho }_0$ — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре $T_0$. Поскольку $\beta$ и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое ${\rho }_0\overrightarrow{g}$. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}=-\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }p+\nu \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}-\beta \theta \overrightarrow{g},$

$\frac{\partial \theta }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\theta =\chi \mathrm{\Delta }\theta ,$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0,$

здесь $\nu$ — кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).

См. также

• Условие возникновения конвекции

Литература

• Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Москва — Ленинград. Гостехиздат.— 1952.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 6. Гидродинамика.— М.:Наука.— 1988.—736 с.— § 56
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений.— М.:Наука.— 1989.
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.— М.:Наука.— 1972.
• Кригель А. М. О применимости приближения свободной конвекции к атмосферной турбулентности // Вестник Ленинградского гос. университета.— Сер.7.—1991.—Вып.2(14).—С.107-110.