Примитивный многочлен (алгебра)

Шаблон:Значения В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен $f(x)\in R[x]$, где $R$ — ассоциативно-коммутативное кольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен $g(x)\in R[x]$ можно записать в виде $g(x)=c_g\cdot f(x)$, где $f(x)$ — примитивный многочлен, a $c_g$ — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена $g(x)$. Элемент $c_g\in R$, определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена $g(x)$.

Лемма Гаусса

Шаблон:Main Если $g_1(x),g_2(x)\in R[x]$, то $c_{g_1{g}_2}=c_{g_1}{c}_{g_2}$. В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.

Доказательство

Сначала докажем, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Для этого достаточно проверить, что если простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$, то он является общим делителем всех коэффициентов многочлена $f(x)$ или общим делителем всех коэффициентов многочлена $g(x)$. Пусть $f(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$, $g(x)=b_0+b_{1}x+\dots +b_m{x}^m$, $n=\mathrm{deg}f,m=\mathrm{deg}g$ — степени этих многочленов. Проведем индукцию по $m+n$. Если $m+n=0$, то $m=0$ и $n=0$, $f(x)=a_0,g(x)=b_0$. Если $p$ делит $a_0{b}_0$, то так как кольцо $R$ факториально, $p$ делит $a_0$ или $p$ делит $b_0$, то есть в этом случае утверждение верно. В общем случае $f(x)g(x)=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+\dots +a_n{b}_m{x}^{n+m}$. Предположим, что некоторый простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$. Так как $p\mid a_n{b}_m$ и кольцо $R$ факториально, то $p\mid a_n$ или $p\mid b_m$. Пусть для определенности $p\mid a_n$. Если $n=0$, то $p$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)$. Если же $n>0$, то заметим, что $p$ будет и общим делителем всех коэффициентов многочлена $f_1(x)g(x)$, где $f_1(x)=f(x)-a_n{x}^n=a_0+a_{1}x+\dots +a_{n-1}{x}^{n-1}$. Действительно, все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)-f_1(x)g(x)=a_n{x}^{n}g(x)$ делятся на $a_n$, а значит, и на $p$. По предположению индукции $p$ делит все коэффициенты многочлена $f_1(x)$ или все коэффициенты многочлена $g(x)$. В первом случае $p$ делит также и все коэффициенты многочлена $f(x)=f_1(x)+a_n{x}^n$. По принципу математической индукции утверждение доказано для всех значений $m$ и $n$

Докажем, что $c_f{c}_f=c_{fg}$. Пусть $f=c_f{f}_0$, $g=c_g{g}_0$, где $f_0$, $g_0$ — примитивные многочлены. Тогда $fg=c_f{c}_g{f}_0{g}_0$. Так как многочлен $f_0{g}_0$ по доказанному примитивен, то $c_{fg}=c_f{c}_g$. Лемма доказана.

Литература

• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М.