Принцип д’Аламбера — Лагранжа

Принцип д’Аламбера — Лагранжа — один из основных принципов механики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы присоединить силы инерции, то при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и элементарных работ сил инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении системы равна нулю^[1].

Принцип д’Аламбера-Лагранжа является объединением принципа возможных перемещений статики и принципа д’Аламбера динамики. Его использование позволяет изучать движения механических систем с идеальными связями, не вводя в уравнения движения неизвестные реакции связей.

Вывод

Пусть механическая система с голономными, удерживающими, идеальными связями представлена материальными точками с массами $m_{1}, m_{2}, . . ., m_{N}$ ^[2]. Пусть к каждой материальной точке $m_{i}$ приложены активные силы с равнодействующей $\vec{F_{i}}$ и пассивные силы с равнодействующей $\vec{N_{i}}$ . Согласно второму закону Ньютона:

m_{i} \vec{w_{i}} = \vec{F_{i}} + \vec{N_{i}}

или

\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}} + \vec{N_{i}} = 0

(1)

Зафиксируем теперь некоторый момент времени и сообщим механической системе виртуальное (возможное) перемещение $δ \vec{r_{1}}, δ \vec{r_{2}}, . . ., δ \vec{r_{N}}$ . Умножим скалярно каждое уравнение (1) на соответствующее $δ \vec{r_{i}}$ и суммируем все уравнения:

\sum_{i = 1}^{N} (\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}}) δ \vec{r_{i}} + \sum_{i = 1}^{N} \vec{N_{i}} δ \vec{r_{i}} = 0

Сумма работ идеальных связей на любом виртуальном перемещении равна нулю, поэтому:

\sum_{i = 1}^{N} (\vec{F_{i}} - m_{i} \vec{w_{i}}) δ \vec{r_{i}} = 0

Это равенство называется общим уравнением механики.

Во всякой механической системе с идеальными удерживающими связями в каждый момент времени движения на любом виртуальном перемещении сумма механических работ, производимых активными силами и силами инерции, всегда равна нулю.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Шаблон:ВС

↑ Тарг С. М. Д’Аламбера — Лагранжа принцип // Физика. Энциклопедия / под ред. А. М. Прохорова — М., Большая Российская энциклопедия, 2003. — ISBN 5-85270-306-0. — с. 142
↑ Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М., Высшая школа, 1999. — ISBN 5-06-003587-5. — с. 218

[Targ-1] Тарг С. М. Д’Аламбера — Лагранжа принцип // Физика. Энциклопедия / под ред. А. М. Прохорова — М., Большая Российская энциклопедия, 2003. — ISBN 5-85270-306-0. — с. 142

[2] Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М., Высшая школа, 1999. — ISBN 5-06-003587-5. — с. 218

[1]

[2]

Принцип д’Аламбера — Лагранжа

Вывод

См. также

Примечания

Навигация

Поиск