Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности или Теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результат функционального анализа. Теорема утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве.

История

Теорема была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом.

Формулировка

Пусть $X$ — Банахово пространство, $Y$ — нормированное векторное пространство, $F$ — семейство линейных непрерывных операторов из $X$ в $Y$. Предположим, что для любого $x\in X$ выполняется

$\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F}\Vert T(x){\Vert }_Y<\mathrm{\infty }.$

Тогда

$\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F,\Vert x\Vert =1}\Vert T(x){\Vert }_Y=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F}\Vert T{\Vert }_{ℒ(X,Y)}<\mathrm{\infty }.$

Следствия

Если последовательность ограниченных операторов на банаховом пространстве сходится поточечно, то её поточечный предел является ограниченным оператором.

Вариации и обобщения

• Бочечное пространство — наиболее общий тип пространств в которых выполняется принцип равномерной ограниченности.

• Принцип ограниченности выполняется для семейств отображений из $X$ в $Y,$ если $X$ является пространством Бэра и $Y$ — Шаблон:Нп1.

Список литературы

• Шаблон:CitationШаблон:Ref-fr
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Citation.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.