Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори:

Замечания

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщения

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если $f$ конформно отображает область $G$ на область $G^{\prime }$, притом кривые $\partial G$ и $\partial G^{\prime }$ являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения $\bar{f}:\bar{G}\to \overline{G^{\prime }}$.

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

Замечания

• Также верен обратный принцип соответствия границ: Пусть $D_1,D_2$ - ограниченные области с кусочно-гладкой границей и функция $f$, голоморфная на $D_1$ и непрерывная на $\overline{D_1}$, биективно отображает $\partial D_1$ на $\partial D_2$, тогда $f$ конформно отображает $D_1$ на $D_2$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.