Присоединённые многочлены Лежандра

В математике присоединенные полиномы Лежандра являются каноническими решениями обобщённого уравнения Лежандра $$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }^m(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)+[\ell (\ell +1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P_{\ell }^m(x)=0,$$ или эквивалентно $$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)]+[\ell (\ell +1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P_{\ell }^m(x)=0,$$ Где индексы ℓ и m (целые числа) называются соответственно степенью и порядком присоединенного полинома Лежандра. Уравнение имеет ненулевые решения, неособенные на отрезке {−1, 1}, только если ℓ и m — целые числа, удовлетворяющие условию 0 ≤ m ≤ ℓ, или аналогично эквивалентные отрицательные значения. Если m чётное, функция является полиномом. При m=0 и целочисленном ℓ, эти функции идентичны с полиномами Лежандра. В общем, когда ℓ и m целые, стандартные решения иногда называют «присоединенные полиномы Лежандра», даже если они не являются многочленами (полиномами), когда m нечетное. Общий класс функций с произвольными действительными или комплексными величинами для ℓ и m называют функциями Лежандра. В этом случае параметры часто обозначают греческими буквами. Обычное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других технических областях. В частности, оно возникает при решении уравнения Лапласа (и связанных с ним дифференциальных уравнений в частных производных) в сферических координатах. Присоединенные полиномы Лежандра играют ключевую роль в определении сферических гармоник.

Определение для неотрицательных целочисленных параметров Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar

Эти функции обозначаются как $P_{\ell }^m(x)$, где верхний индекс указывает порядок, а не степень P. Их наиболее простое определение связано с производными обычных полиномов Лежандра (m ≥ 0): $$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_{\ell }(x)),$$ Коэффициент/Множитель Шаблон:Math в этой формуле известен как фаза Кондона-Шортли. Некоторые авторы его опускают. Функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра для указанных значений параметров ℓ and m, что следует из дифференцирования уравнения Лежандра m -раз для Шаблон:Math: $$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$$ Кроме того, согласно формуле Родригеса: $$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}[(x^2-1{)}^{\ell }],$$ Функция PШаблон:Su может быть выражена в виде: $$P_{\ell }^m(x)=\frac{(-1{)}^m}{2^{\ell }\ell !}(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell }.$$ Это уравнение позволяет расширить диапазон m до Шаблон:Math. Определения Шаблон:Math, полученные подстановкой Шаблон:Math пропорциональны. Действительно, приравнивая коэффициенты одинаковых степеней с левой и правой сторон $$\frac{d^{\ell -m}}{d{x}^{\ell -m}}(x^2-1{)}^{\ell }=c_{lm}(1-x^2{)}^m\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell },$$ Следовательно, коэффициент пропорциональности равен $$c_{lm}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!},$$ Так что $$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m(x).$$

Альтернативная запись

В литературе также используется следующая альтернативная запись: $$P_{\ell m}(x)=(-1{)}^m{P}_{\ell }^m(x)$$

Закрытая форма

Связанный полином Лежандра также может быть записан в следующем виде:

$$P_l^m(x)=(-1{)}^m\cdot 2^l\cdot (1-x^2{)}^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^l\frac{k!}{(k-m)!}\cdot x^{k-m}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{l+k-1}{2}}{l})$$

с использованием простых одночленов и обобщённой формы биномиального коэффициента.

Ортогональность

Связанные полиномы Лежандра в общем не ортогональны друг другу. Например, $P_1^1$ не ортогонален $P_2^2$. Однако некоторые подмножества ортогональны. При условии 0 ≤ m ≤ ℓ', они удовлетворяют условию ортогональности для фиксированного m. $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_k^m{P}_{\ell }^{m}dx=\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$$ Где Шаблон:Math — это дельта Кронекера. Кроме того, они удовлетворяют условию ортогональности для фиксированного Шаблон:Mvar: $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{P_{\ell }^m{P}_{\ell }^n}{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}$$

Отрицательные значения Шаблон:Mvar и/или Шаблон:Mvar

Дифференциальное уравнение явно инвариантно относительно изменения знака m Функции для отрицательных значений m были показаны выше, как пропорциональные функциям для положительных значений m: $$P_{\ell }^{-m}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m$$ (Это следует из определения формулы Родригеса. Это определение также позволяет применять различные рекуррентные формулы как для положительных, так и для отрицательных значений Шаблон:Mvar.) $$\text{If}|m|>\ell \text{then}{P}_{\ell }^m=0.$$ Дифференциальное уравнение также инвариантно относительно изменения от Шаблон:Mvar до Шаблон:Math, и функции для отрицательных значений Шаблон:Mvar определяются как $$P_{-\ell }^m=P_{\ell -1}^m,(\ell =1,2,\dots ).$$

Четность

Из их определения можно установить, что присоединенные функции Лежандра являются чётными или нечётными в зависимости от значения: $$P_{\ell }^m(-x)=(-1{)}^{\ell -m}{P}_{\ell }^m(x)$$

Присоединённые функции Лежандра первых степеней

Associated Legendre functions for m = 0

Associated Legendre functions for m = 1

Associated Legendre functions for m = 2

Присоединённые функции Лежандра первых степеней, включая функции для отрицательных значений m, следующие: $$P_0^0(x)=1$$

$$\begin{array}{cc}{P}_1^{-1}(x)& =-\frac{1}{2}{P}_1^1(x)\\ P_1^0(x)& =x\\ P_1^1(x)& =-(1-x^2{)}^{1/2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{P}_2^{-2}(x)& =\frac{1}{24}{P}_2^2(x)\\ P_2^{-1}(x)& =-\frac{1}{6}{P}_2^1(x)\\ P_2^0(x)& =\frac{1}{2}(3x^2-1)\\ P_2^1(x)& =-3x(1-x^2{)}^{1/2}\\ P_2^2(x)& =3(1-x^2)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{P}_3^{-3}(x)& =-\frac{1}{720}{P}_3^3(x)\\ P_3^{-2}(x)& =\frac{1}{120}{P}_3^2(x)\\ P_3^{-1}(x)& =-\frac{1}{12}{P}_3^1(x)\\ P_3^0(x)& =\frac{1}{2}(5x^3-3x)\\ P_3^1(x)& =\frac{3}{2}(1-5x^2)(1-x^2{)}^{1/2}\\ P_3^2(x)& =15x(1-x^2)\\ P_3^3(x)& =-15(1-x^2{)}^{3/2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{P}_4^{-4}(x)& =\frac{1}{40320}{P}_4^4(x)\\ P_4^{-3}(x)& =-\frac{1}{5040}{P}_4^3(x)\\ P_4^{-2}(x)& =\frac{1}{360}{P}_4^2(x)\\ P_4^{-1}(x)& =-\frac{1}{20}{P}_4^1(x)\\ P_4^0(x)& =\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\\ P_4^1(x)& =-\frac{5}{2}(7x^3-3x)(1-x^2{)}^{1/2}\\ P_4^2(x)& =\frac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2)\\ P_4^3(x)& =-105x(1-x^2{)}^{3/2}\\ P_4^4(x)& =105(1-x^2{)}^2\end{array}$$

Рекуррентная формула

Эти функции обладают рядом рекуррентных свойств: $$(\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^m(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^m(x)$$

$$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)=(2\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$$

$$2mx{P}_{\ell }^m(x)=-\sqrt{1-x^2}[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)]$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{-1}{2m}[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)]$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{-1}{2m}[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)]$$

$$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)]$$

$$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{-1}{2\ell +1}[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)]$$

$$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$$

$$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)-(\ell +m+1)x{P}_{\ell }^m(x)$$

$$\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2}[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)]$$

$$(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)]$$

$$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\ell x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$$

$$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=-(\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)$$

$$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)+mx{P}_{\ell }^m(x)$$

$$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m-1}(x)-mx{P}_{\ell }^m(x)$$ Полезные тождества (начальные значения для первой рекурсии): $$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{\ell }(x)$$ $$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1{)}^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^2{)}^{(\ell /2)}$$ $$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$$ где Шаблон:Math двойной факториал.

Формула Гонта

Интеграл от произведения трёх связанных полиномов Лежандра (с совпадающими порядками, как показано ниже) является необходимым элементом при разложении произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по этим полиномам. Это, например, необходимо при выполнении атомных вычислений для метода Хартри-Фока, где нужны матричные элементы оператора Кулона. Для этого используется формула Гонта $$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_l^u(x)P_m^v(x)P_n^w(x)dx=& (-1{)}^{s-m-w}\frac{(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}\\ & \times \sum _{t=p}^q(-1{)}^t\frac{(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}\end{array}$$ Эта формула должна использоваться при следующих условиях: 1. Степени — неотрицательные целые числа $l,m,n\ge 0$ 2. Все три порядка — неотрицательные целые числа $u,v,w\ge 0$ 3. Порядок $u$ является наибольшим из трёх 4. Порядки суммируются $u=v+w$ 5. Степени подчиняются определённым условиям $m\ge n$ Другие величины, содержащиеся в формуле, определяются как $$2s=l+m+n$$ $$p=\max (0,n-m-u)$$ $$q=\min (m+n-u,l-u,n-w)$$ Интеграл равен нулю, если выполняются следующие условия: 1. Сумма степеней чётная, чтобы $s$ было целым числом 2. Выполняется треугольное равенство/условие $m+n\ge l\ge m-n$ Донг и Лемус (2002) обобщили вывод этой формулы для интегралов от произведения произвольного числа присоединенных полиномов Лежандра.

Обобщение через гипергеометрические функции

Эти функции могут быть определены для общих комплексных параметров и аргументов. $$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2})$$ где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция, а ${}_2{F}_1$ — гипергеометрическая функция. $${}_2{F}_1(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+\beta )}{\mathrm{\Gamma }(n+\gamma )n!}{z}^n,$$ Эти функции называются функциями Лежандра, когда они определяются таким более общим способом. Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что было описано выше: $$(1-z^2)y^{″}-2z{y}^{\prime }+(\lambda [\lambda +1]-\frac{{\mu }^2}{1-z^2})y=0.$$ Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, у него существует второе решение, $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$ задается: $$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{1}{z^{\lambda +\mu +1}}(1-z^2{)}^{\mu /2}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2})$$ $P_{\lambda }^{\mu }(z)$ и $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$ оба подчиняются нескольким рекуррентным формулам, приведённым ранее.

Репараметризация (Выражение) условий через углы

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент репараметризован через углы - $x=\cos \theta$:

$$P_{\ell }^m(\cos \theta )=(-1{)}^m(\sin \theta {)}^m\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}(P_{\ell }(\cos \theta ))$$

Используя соотношение $(1-x^2{)}^{1/2}=\sin \theta$, приведённая выше формула даёт первые несколько полиномов, параметризованных таким образом, как: $$\begin{array}{cc}{P}_0^0(\cos \theta )& =1\\ P_1^0(\cos \theta )& =\cos \theta \\ P_1^1(\cos \theta )& =-\sin \theta \\ P_2^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)\\ P_2^1(\cos \theta )& =-3\cos \theta \sin \theta \\ P_2^2(\cos \theta )& =3{\sin }^2\theta \\ P_3^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ P_3^1(\cos \theta )& =-\frac{3}{2}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \\ P_3^2(\cos \theta )& =15\cos \theta {\sin }^2\theta \\ P_3^3(\cos \theta )& =-15{\sin }^3\theta \\ P_4^0(\cos \theta )& =\frac{1}{8}(35{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +3)\\ P_4^1(\cos \theta )& =-\frac{5}{2}(7{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\ P_4^2(\cos \theta )& =\frac{15}{2}(7{\cos }^2\theta -1){\sin }^2\theta \\ P_4^3(\cos \theta )& =-105\cos \theta {\sin }^3\theta \\ P_4^4(\cos \theta )& =105{\sin }^4\theta \end{array}$$

Ортогональные соотношения, приведённые выше, в этой формуле: для фиксированного m, функции $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ ортогональны, параметризованные через θ в промежутке $[0,\pi ]$ с весом $\sin \theta$: $$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_k^m(\cos \theta )P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta =\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$$ Также для фиксированного ℓ: $$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )P_{\ell }^n(\cos \theta )\csc \theta d\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}$$ В условии θ, для $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ является решением: $$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\cot \theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$$ Точнее говоря, для целого m$\ge$0, уравнение имеет невырожденные решения только тогда, когда $\lambda =\ell (\ell +1)$, для целого ℓ, выполняется условие ≥ m, и эти решения пропорциональны для $P_{\ell }^m(\cos \theta )$.

Применения в физике: сферические гармоники

Во многих областях физики полиномы Лежандра, выраженные через углы, возникают там, где присутствует сферическая симметрия. Зенитный (полярный) угол в сферических координатах — это угол $\theta$, использованный ранее. Азимутальный угол $\varphi$ появляется как сомножитель. Вместе они образуют набор функций, называемых сферическими гармониками. Эти функции выражают симметрию двух сфер (сферы Римана) под действием группы Ли SO(3). Полезность этих функций в том, что они основные в решении уравнения ${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$ на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота), Лапласиан это $${\mathrm{\nabla }}^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\csc }^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}.$$ Частная производная равна: $$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\csc }^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}+\lambda \psi =0$$ и решается методом разделения переменных, получается часть, зависящая от угла ϕ $\sin (m\varphi )$ или $\cos (m\varphi )$ для целого m≥0, и уравнение для части, зависящей от угла θ $$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\cot \theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$$ для которого решения имеют вид $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ где $\ell \ge m$ и $\lambda =\ell (\ell +1)$. Следовательно, уравнение $${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$$ имеет неособенные разделенные решения только когда $\lambda =\ell (\ell +1)$, и эти решения пропорциональны $$P_{\ell }^m(\cos \theta )\cos (m\varphi )0\le m\le \ell$$ и $$P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin (m\varphi )0<m\le \ell .$$

Для каждого значения ℓ существует Шаблон:Nowrap функций для различных значений m, синуса и косинуса. Все они ортогональны как по ℓ, так и по m, когда интегрируются по поверхности сферы. Решения обычно записываются в условиях комплексных экспонент: $$Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\varphi }-\ell \le m\le \ell .$$ Функции $Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )$ — это сферические гармоники, а выражение под квадратным корнем является нормирующим коэффициентом. Учитывая связь между присоединенными функциями Лежандра с положительными и отрицательными m, можно легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождественности $$Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m{Y}_{\ell ,-m}(\theta ,\varphi ).$$

Сферические гармоники образуют полное ортонормированное множество функций в контексте разложения в ряд по Фурье. В геодезии, геомагнетизме и спектральном анализе специалисты используют другие фазовые и нормировочные коэффициенты, чем приведенные здесь (см. сферические гармоники).

При решении трёхмерного сферически симметричного дифференциального уравнения методом разделения переменных в сферических координатах, часть, оставшаяся после удаления радиальной части, обычно имеет форму $${\mathrm{\nabla }}^2\psi (\theta ,\varphi )+\lambda \psi (\theta ,\varphi )=0,$$ И, следовательно, решениями являются сферические гармоники.

Обобщения

Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами. В форме сферических гармоник они выражают симметрию двух-сферы (Сферы Римана) под действием группы Ли SO(3). Есть и другие группы Ли, кроме SO(3), и существуют для которых аналогичные обобщения полиномов Лежандра, которые выражают симметрии полупростых групп Ли и римановых симметричных пространств. Грубо говоря, можно определить Лапласиан на симметричных пространствах; собственные функции Лапласиана можно рассматривать как обобщение сферических гармоник для других случаев.