Производная Римана

Производная Римана, производная Шварца или вторая симметрическая производная, функции $f(x)$ в точке $x_0$ — предел

$D^{2}f=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x_0-\epsilon )-2f(x_0)+f(x_0+\epsilon )}{{\epsilon }^2}.$

Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.

Связанные определения

Верхний и нижний пределы

$\frac{f(x_0-\epsilon )-2f(x_0)+f(x_0+\epsilon )}{{\epsilon }^2}$

при $\epsilon \to 0$ называются соответственно верхней ${\overline{D}}^{2}f(x_0)$ и нижней ${\underset{\_}{D}}_{2}f(x_0)$ производной Римана.

Свойства

• Если в точке $x_0$ существует 2-я производная $f^{″}(x_0$), то существует производная Римана и $D^{2}f(x_0)=f^{″}(x_0)$.
  • Обратное неверно.