Простые числа Рамануджана

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

История

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

$\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right)⩾1$

для всех $x⩾2$, где $\pi (x)$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих $x$. Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:

$\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right)⩾1,2,3,4,5,\dots$

для всех $x⩾2,11,17,29,41,\dots$ соответственно (Шаблон:OEIS).

Определение

Простое число Рамануджана $R_n$ это наименьшее целое число, что для любого $x⩾R_n$ выполнено

$\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right)⩾n.$

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех $x⩾R_n$ не меньше $n$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что $R_n$ обязательно является простым числом: $\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right)$, а следовательно и $\pi (x),$ должно возрасти, что возможно только если $R_n$ простое.

Границы и асимптотика

Оценка посредством элементарных функций:

$2n\ln 2n<R_n<4n\ln 4n.$

Оценка посредством простых чисел:

$p_{2n}<R_n<p_{3n}$,

где $p_n$ — $n$-е простое число.

Асимптотика:

$R_n\sim p_{2n}$ при $n\to \mathrm{\infty }.$

Уточнённая оценка сверху:

$R_n\le \frac{41}{47}{p}_{3n}.$

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.