Профиль Наварро — Френка — Уайта

Профиль Наварро — Френка — Уайта — аналитическая модель пространственного распределения плотности гало тёмной материи. Вид профиля является аппроксимацией данных, полученных в результате Шаблон:Нп5 эволюции Вселенной в рамках модели ΛCDM. Предложен в 1996 году и назван в честь авторов соответствующей работы — Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5 и Саймона Уайта. Зависимость является одной из наиболее часто используемых для описания распределения массы в гало тёмной материи, несмотря на несовпадения с данными наблюдений для центральных областей галактик.

Математическое описание

В профиле Наварро — Френка — Уайта плотность тёмной материи как функция радиуса определяется выражением

$\rho (r)=\frac{{\rho }_0}{\frac{r}{R_s}{(1+\frac{r}{R_s})}^2},$

где ρ₀ и R_s являются параметрами, меняющимися в зависимости от свойств гало.

Полная масса в пределах некоторого радиуса R_max равна

$M=\underset{0}{\overset{R_{\max }}{\int }}4\pi r^2\rho (r)dr=4\pi {\rho }_0{R}_s^3[\ln \left(\frac{R_s+R_{\max }}{R_s}\right)-\frac{R_{\max }}{R_s+R_{\max }}].$

Интеграл для значения полной массы расходится, но зачастую рассматривают гало конечного размера, при этом радиусом гало считают вириальный радиус R_vir, который связан с параметром концентрации c и масштабным параметром следующим образом:

$R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}=c{R}_s.$

Вириальным радиусом в данном случае обозначают радиус R₂₀₀, то есть радиус, на котором средняя плотность внутри сферы данного радиуса будет в 200 раз превышать критическую плотность. В таком случае полная масса в гало будет равна

$M=\underset{0}{\overset{R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}}{\int }}4\pi r^2\rho (r)dr=4\pi {\rho }_0{R}_s^3[\ln (1+c)-\frac{c}{1+c}].$

Значение параметра c для Млечного Пути равно примерно 10-15, а для других гало лежит в интервале от 4 до 40.

Интеграл от квадрата плотности равен

$\underset{0}{\overset{R_{\max }}{\int }}4\pi r^2\rho (r{)}^{2}dr=\frac{4\pi }{3}{R}_s^3{\rho }_0^2[1-\frac{R_s^3}{(R_s+R_{\max }{)}^3}],$

поэтому среднее значение квадрата плотности в пределах радиуса R_max равно

$⟨{\rho }^2{⟩}_{R_{\max }}=\frac{R_s^3{\rho }_0^2}{R_{\max }^3}[1-\frac{R_s^3}{(R_s+R_{\max }{)}^3}],$

что в случае вириального радиуса можно записать в виде

$⟨{\rho }^2{⟩}_{R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}}=\frac{{\rho }_0^2}{c^3}[1-\frac{1}{(1+c{)}^3}]\approx \frac{{\rho }_0^2}{c^3},$

и среднее значение квадрата плотности в пределах радиуса R_s равно

$⟨{\rho }^2{⟩}_{R_s}=\frac{7}{8}{\rho }_0^2.$

Применения для описания гало тёмной материи

Профиль Наварро — Френка — Уайта является приближением для равновесной конфигурации тёмной материи. До наступления вириализации распределение тёмной материи отличается от профиля Наварро — Френка — Уайта, причём при моделировании наблюдается наличие структуры как в течение коллапса гало, так и после коллапса.

Наблюдательные данные по таким галактикам как Млечный Путь и M 31 скорее согласуются с моделью Наварро — Френка — Уайта. Между тем, такой вид профиля не совпадает с данными наблюдений для галактик низкой поверхностной яркости и карликовых галактик: в центральных областях наблюдается меньшее содержание тёмной материи, чем предсказывается. Это противоречие получило название проблемы сингулярного гало.

Как было показано, другие модели, в частности профиль Эйнасто, представляют профиль распределения тёмной материи не хуже, чем профиль Наварро — Френка — Уайта. Профиль Эйнасто имеет в центральной области конечный (нулевой) наклон, в отличие от имеющего бесконечную плотность профиля Наварро — Френка — Уайта. Вследствие ограниченных возможностей численного моделирования пока не известно, какая из моделей наилучшим образом описывает распределение плотности в центральных областях гало тёмной материи, поэтому этот вопрос остаётся открытым.