Разделённые степени

Разделённые степени — структура на коммутативных кольцах, позволяющая придать выражениям вида $x^n/n!$ смысл, если даже невозможно деление на $n!$.

Определения

Пусть $A$ — коммутативное кольцо с идеалом $\Im$. Структура разделённых степеней (или PD-структура, от Шаблон:Lang-fr) на $\Im$ есть набор отображений ${\gamma }_n:\Im \to A$ для $n=0,1,2,\dots$ таких, что:

1. ${\gamma }_0(x)=1$ и ${\gamma }_1(x)=x$ для $x\in \Im$, тогда как ${\gamma }_n(x)\in \Im$ для $n>0$.
2. ${\gamma }_n(x+y)=\sum _{i=0}^n{\gamma }_{n-i}(x){\gamma }_i(y)$ для $x,y\in \Im$.
3. ${\gamma }_n(\lambda x)={\lambda }^n{\gamma }_n(x)$ для $\lambda \in A,x\in \Im$.
4. ${\gamma }_m(x){\gamma }_n(x)=((m,n)){\gamma }_{m+n}(x)$ для $x\in I$, где $((m,n))=\frac{(m+n)!}{m!n!}$ — целое число.
5. ${\gamma }_n({\gamma }_m(x))=C_{n,m}{\gamma }_{mn}(x)$ for $x\in I$, где $C_{n,m}=\frac{(mn)!}{(m!{)}^{n}n!}$ — целое число.

Ради удобства обозначений ${\gamma }_n(x)$ часто пишется как $x^{[n]}$, когда ясно, какая структура разделённых степеней подразумевается.

Идеал разделённых степеней — идеал с заданной структурой разделённых степеней; кольцо с разделёнными степенями — кольцо с заданным идеалом и соответствующей ему структурой разделённых степеней.

Гомоморфизмы алгебр с разделёнными степенями суть гомоморфизмы колец, согласованные со структурами разделённых степеней на области определения и на образе.

Примеры

• $\mathbb{Z}⟨x⟩:=\mathbb{Z}[x,\frac{x^2}{2},\dots ,\frac{x^n}{n!},\dots ]\subset \mathbb{Q}[x]$ есть алгебра с разделёнными степенями, это свободная алгебра с разделёнными степенями над $\mathbb{Z}$ с одной образующей.

• Если $A$ — алгебра над полем $\mathbb{Q}$, тогда всякий идеал $\Im$ имеет единственную структуру разделённых степеней; для неё ${\gamma }_n(x)=\frac{1}{n!}\cdot x^n$. (Единственность следует из просто проверяемого факта, утверждающего, что, вообще говоря, $x^n=n!{\gamma }_n(x)$.) На самом деле, это первоочередной пример для мотивировки этого понятия.

• Если $A$ — кольцо характеристики $p>0$, где $p$ — простое число, и $\Im$ — идеал такой, что ${\Im }^p=0$, то мы можем определить структуру разделённых степеней на $\Im$, где ${\gamma }_n(x)=\frac{1}{n!}{x}^n$, если $n<p$, и ${\gamma }_n(x)=0$, если $n\ge p$. (Заметим разницу между идеалом ${\Im }^p$ и идеалом, порождённым $x^p$ для всех $x\in \Im$; второй всегда нулевой, если структура разделённых степеней существует, в то время как первый не обязательно нулевой.)

• Если $M$ есть $A$-модуль, пусть $S^{\cdot }M$ обозначает симметрическую алгебру модуля $M$ над $A$. Тогда её двойственная алгебра $(S^{\cdot }M)\stackrel{ˇ}{}=Ho{m}_A(S^{\cdot }M,A)$ имеет каноническую структуру кольца с разделёнными степенями. На самом деле, она канонически изоморфна естественному пополнению ${\mathrm{\Gamma }}_A(\check{M})$ (см. ниже), если $M$ конечного ранга.

Конструкции

Если $A$ — произвольное кольцо, существует кольцо с разделёнными степенями:

$A⟨x_1,x_2,\dots ,x_n⟩$,

состоящее из многочленов с разделёнными степенями от переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n,$, то есть суммы мономов с разделёнными степенями вида:

$c{x}_1^{[i_1]}{x}_2^{[i_2]}\cdots x_n^{[i_n]}$,

где $c\in A$. Здесь идеал разделённых степеней есть множество многочленов с разделёнными степенями со свободным членом $0$.

Более общо, если $M$ — $A$-модуль, существует универсальная $A$-алгебра, называемая ${\mathrm{\Gamma }}_A(M)$, с идеалом разделённых степеней ${\mathrm{\Gamma }}_{+}(M)$ и $A$-линейным отображением $M\to {\mathrm{\Gamma }}_{+}(M)$. (Случай многочленов с разделёнными степенями — это частный случай, когда $M$ — свободный модуль над $A$ конечного ранга.)

Если $\Im$ — идеал в $A$, существует универсальная конструкция, расширяющая кольцо $A$ с разделёнными степенями элементов $\Im$ до обёртывающей кольца с разделёнными степенями $\Im$ в $A$.

Применения

Обёртывающая кольца с разделёнными степенями — важный инструмент в теориях PD-дифференциальных операторов и кристаллических когомологий, где разделённые степени используются для обхождения технических трудностей, возникающих при положительной характеристике кольца.

Функтор разделённых степеней используется при построении Шаблон:Iw.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга