Регулярная матрица Адамара

Регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, у которой суммы по строкам и столбцам равны. В то время как порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, регулярные матрицы Адамара удовлетворяют дальнейшим ограничениям, что порядок равен полному квадрату. Избыток, обозначаемый E(H), матрицы Адамара H порядка n определяется как сумма элементов матрицы H. Избыток удовлетворяет ограничению $|E(H)|⩽n^{\frac{3}{2}}$. Матрица Адамара достигает этой границы тогда и только тогда, когда она регулярна.

Параметры

Если $n=4u^2$ является порядком регулярной матрицы Адамара, то её избыток равен $\pm 8u^3$, а суммы строк и столбцов равны $\pm 2u$. Отсюда следует, что каждая строка имеет $2u^2\pm u$ положительных элементов и $2u^2\mp u$ отрицательных. Из ортогональности строк следует, что любые две различные строки имеют в точности $u^2\pm u$ общих положительных элемента. Если H интерпретировать как матрицу инцидентности блок-дизайна, когда 1 представляет смежность, а −1 представляет неинцидентность, то матрица H соответствует симметричному $2-(v,k,\lambda )$ дизайну с параметрами $(4u^2,2u^2\pm u,u^2\pm u)$. Дизайн с этими параметрами называется дизайном Менона.

Построение

Шаблон:Unsolved Известно несколько методов построения регулярных матриц Адамара и было проведено несколько исчерпывающих компьютерных поисков для регулярных матриц Адамара с определёнными группами симметрии, но не известно, каждый ли полный чётный квадрат есть порядок регулярной матрицы Адамара. Матрицы Адамара типа Буша являются регулярными матрицами Адамара специального вида и связаны с конечными проективными плоскостями.

История и наименование

Подобно более общим матрицам Адамара, регулярные матрицы Адамара названы именем Жака Адамара. Дизайн Менона назван именем индийского математика П. Кишава Менона, а матрицы Адамара типа Буша названы именем Кеннета А. Буша.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга