Репьюниты

Репью́ниты (Шаблон:Lang-en, от Шаблон:Lang — повторённая единица)Шаблон:Sfn — натуральные числа $R(b,n)$, запись которых в системе счисления с основанием $b>1$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются $R_n$: $R_1=1$, $R_2=11$, $R_3=111$ и т. д., и общий вид для них:

$R_n=\frac{10^n-1}{9},n=1,2,3,\dots$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в Шаблон:Color, означают, что это новые простые числа в факторизациях R_n, которые не делят R_k для всех k < n)

R1 = 1 R2 = Шаблон:Color R3 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R4 = 11 · Шаблон:Color R5 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R6 = 3 · Шаблон:Color · 11 · Шаблон:Color · 37 R7 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R8 = 11 · Шаблон:Color · 101 · Шаблон:Color R9 = 32 · 37 · Шаблон:Color R10 = 11 · 41 · 271 · Шаблон:Color

R11 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · Шаблон:Color R13 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R14 = 11 · 239 · 4649 · Шаблон:Color R15 = 3 · Шаблон:Color · 37 · 41 · 271 · Шаблон:Color R16 = 11 · Шаблон:Color · 73 · 101 · 137 · Шаблон:Color R17 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · Шаблон:Color · 37 · Шаблон:Color · 333667 R19 = Шаблон:Color R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · Шаблон:Color · 9091 · Шаблон:Color

R21 = 3 · 37 · Шаблон:Color · 239 · Шаблон:Color · 4649 · Шаблон:Color R22 = 112 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 21649 · 513239 R23 = Шаблон:Color R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · Шаблон:Color R25 = 41 · 271 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R26 = 11 · 53 · 79 · Шаблон:Color · 265371653 · Шаблон:Color R27 = 33 · 37 · Шаблон:Color · 333667 · Шаблон:Color R28 = 11 · Шаблон:Color · 101 · 239 · Шаблон:Color · 4649 · 909091 · Шаблон:Color R29 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 271 · Шаблон:Color · 9091 · 2906161

R31 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R32 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 5882353 R33 = 3 · 37 · Шаблон:Color · 21649 · 513239 · Шаблон:Color R34 = 11 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 2071723 · 5363222357 · Шаблон:Color R35 = 41 · Шаблон:Color · 239 · 271 · 4649 · Шаблон:Color · Шаблон:Color R36 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · Шаблон:Color R37 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R38 = 11 · Шаблон:Color · 1111111111111111111 R39 = 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · Шаблон:Color R40 = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · Шаблон:Color · Шаблон:Color

Свойства

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов $R_n$ для n, равных:

Шаблон:Nums (последовательность A004023 в OEIS)

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения $R_i\cdot R_j$ при $9\ge i\ge j$ получается палиндромическое число вида $(12\dots j\dots 21)$ из $i+j-1$ цифр с цифрой $j$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
• Всякое положительное кратное репьюнита $R_n$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число Шаблон:Ч можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: $1111=\sum _{n=11}^{16}{n}^2$. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — $R_5$.

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга