Ряд Пеано

Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером.

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

Определение

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

$\int Y^{\prime }dx=AY+F$,

где $Y$ — вектор неизвестных функций, $A$ — матрица коэффициентов $F$ — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

$Y={\left\{y_i\left(t\right)\right\}}^T;A=\left[a_{ij}\left(t\right)\right];F={\left\{f_i\left(t\right)\right\}}^T;i=1,2,\dots ,n$.

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

$\mathrm{\Omega }(t)=[{\omega }_{ij}(t)]$.

$Y=\mathrm{\Omega }C+Y_F$, $Y_F=\mathrm{\Omega }\int {\mathrm{\Omega }}^{-1}F$

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы $A$ представим в виде операторного ряда:

$\mathrm{\Omega }=[{\omega }_{ij}]=E+\int A+\int A\int A+\int A\int A\int A+\dots$,

где $E$ — единичная матрица. При этом матрица $A$ должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

$\int (\dots )=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}(\dots )dt;\begin{array}{cc}& \underset{}{\overset{2}{\int }}(\dots )=\int \int (\dots )=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\left(\underset{t_o}{\overset{t_{\xi }}{\int }}(\dots )d{t}_{\xi }\right)\end{array}dt$.

Из этих выражений следует, что

$\mathrm{\Omega }\left(t_0\right)=[{\omega }_{ij}\left(t_0\right)]=E$.

${\omega }_{ii}\left(t_0\right)=1;{\omega }_{ij}\left(t_0\right)=0,i\ne j.C=Y_0={\left\{y_{0,i}\right\}}^T;y_{0,i}=y_i\left(t_0\right)$.

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

$Y=\mathrm{\Omega }\cdot (Y_0+U_P);U_P=\int {\mathrm{\Omega }}^{-1}F.$.

Здесь $Y_0$ — вектор начальных значений, которые заданы при $t=t_0$. $U_P$ — вектор внешних воздействий, которые действуют при $t\ge t_0$. Не нарушая общности, можно считать, что $t_0=0$.

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда Пеано

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения $t$ абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

$M=1+\mu \left(t\right)+\frac{n\mu {\left(t\right)}^2}{2!}+\frac{n^2\mu {\left(t\right)}^3}{3!}+\dots +\frac{n^{k-1}\mu {\left(t\right)}^k}{k!}+\dots$,

$\mu \left(t\right)=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{i,j}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left|a_{ij}\left(t\right)\right|dt$.

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций $a_{ij}$ в заданном интервале изменения $t$.

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(t)$

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

$y_i=y^{(i-1)};\begin{array}{cc}& i=1,2,\dots ,n\end{array}$.

Продифференцировав это равенство, получим: $y{\text{'}}_i=y^{(i)}=y_{i+1}$

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при $i-1,2,\dots ,n-1$. Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме $y^{(n)}$, в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

$\begin{array}{c}{y}^{(n)}=-a_{0}y-a_1{y}^{\prime }-\dots -a_{n-2}{y}^{(n-2)}-a_{n-1}{y}^{(n-1)}+f(x);\\ {y^{\prime }}_n=-a_0{y}_1-a_1{y}_2-\dots -a_{n-2}{y}_{n-1}-a_{n-1}{y}_n+f(x)\end{array}$

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

$Y^{\prime }=AY+F$.

Матрица $A$ и вектор $F$ этой системы имеют вид:

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& -a_3& \cdots & -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right]$; $F={\left\{0,\dots ,0,f(x)\right\}}^T$.

В векторе $Y$ каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в $\mathrm{\Omega }$, начиная со второй, является производной от предыдущей:

${\omega }_{ij}=\omega {\text{'}}_{i-1,j}$

Если обозначить ${\omega }_{1j}={\psi }_j$, то матрицант можно представить в виде:

$\mathrm{\Omega }=W=\left[\begin{array}{c}{\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,{\psi }_n\\ {{\psi }^{\prime }}_1,{{\psi }^{\prime }}_2,\dots ,{{\psi }^{\prime }}_n\\ \cdots \\ {\psi }_1^{(n-1)},{\psi }_2^{(n-1)},\dots ,{\psi }_n^{(n-1)}\end{array}\right]$

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

$y^{″}+a_1\left(t\right)y^{\prime }+a_0\left(t\right)y=p\left(t\right)$.

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

$Y={\left\{y,y^{\prime }\right\}}^T$; $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0& -a_1\end{array}\right]$; $F={\left\{0,p\left(t\right)\right\}}^T$.

Если $a_1=0$, то элементы матрицанта можно представить в виде:

$\{\begin{array}{c}{\omega }_{11}=1-\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0+\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0-\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0+...\\ {\omega }_{12}=x-\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x+\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x-\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x+...\\ {\omega }_{21}=-\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0+\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0-\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0+\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0-...\\ {\omega }_{22}=1-\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_{0}x+\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x-\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x+...\end{array}$

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

$y^{″}+{\omega }^{2}y=0$, $a_0=-{\omega }^2;a_1=0$.

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

${\omega }_{11}=1-\frac{{\omega }^2{t}^2}{4}+\frac{{\omega }^4{t}^4}{24}-\dots =\cos \omega t$;

${\omega }_{12}=t.-\frac{{\omega }^2{t}^3}{6}+\frac{{\omega }^4{t}^5}{120}-\dots ={\omega }^{-1}\sin \omega t$.

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}\cos \omega t& {\omega }^{-1}\sin \omega t\\ -\omega \sin \omega t& \cos \omega t\end{array}\right]$.

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

$y^{″}+\lambda {\overline{a}}_{0}y=0;a_0=-\lambda {\overline{a}}_0$.

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа $\lambda$. Например:

${\omega }_{12}=x-\lambda \underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x+{\lambda }^2\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x-{\lambda }^3\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_{0}x+\dots$

${\omega }_{21}=-\lambda \underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0+{\lambda }^2\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0-{\lambda }^3\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0+{\lambda }^4\underset{}{\overset{}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int }}{a}_0-\dots \dots$

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном виде

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задач

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.