Сверхзолотое сечение

Сверхзолотое сечение — это иррациональное число, которое является действительным решением уравнения $x^3=x^2+1$. Это число обозначается греческой буквой $\psi$ и равно 1,46557123187676802665… (Шаблон:OEIS). Это число равно

$\psi =\frac{2+\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}}+\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}}}{6}$.

Последовательность коров Нараяны

Шаблон:Falseredirect Сверхзолотое сечение возникает в следующей задаче, которая является аналогом задачи о кроликах Фибоначчи: «Вначале есть одна молодая пара рогатого скота. Через три месяца после рождения они могут размножаться и с этого момента размножаются каждый месяц, рождая разнополую пару. Сколько пар будет через $n$ месяцев?» Решением этой задачи является так называемая последовательность коров Нараяны, названная в честь индийского математика XIV века. Эта последовательность начинается следующим образом:

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ... (последовательность A000930 в OEIS).

Члены этой последовательности вычисляются по рекуррентной формуле:

$N_n=N_{n-1}+N_{n-3}$,

где $N_{-1}=0$, $N_0=0$ и $N_1=1$.

Сверхзолотое сечение является пределом отношения соседних членов этой последовательности.