Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть $X$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности $k$ — это пара $({\mathrm{\Delta }}^k,f)$ где ${\mathrm{\Delta }}^k$ — это стандартный симплекс $⟨a_0,a_1,...a_k⟩$, а $f$ — его непрерывное отображение в $X$; $f:{\mathrm{\Delta }}^k\to X$.

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

$c_k=\sum _i{z}_i({\mathrm{\Delta }}^k,f_i)$ с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами $z_i$.

При этом для линейного отображения $s_{\pi }:{\mathrm{\Delta }}^k\to {\mathrm{\Delta }}^k$, определяемого перестановкой $\pi$ точек $(a_0,a_1,...a_k)$, полагают $({\mathrm{\Delta }}^k,f)=(-1{)}^{\pi }({\mathrm{\Delta }}^k,f\circ s_{\pi })$.

Граничный оператор $\partial$ определяется на сингулярном симплексе $({\mathrm{\Delta }}_k,f)$ так:

$\partial ({\mathrm{\Delta }}_k,f)=\sum _i(-1{)}^i({\mathrm{\Delta }}_{k-1},f_i)$,

где ${\mathrm{\Delta }}_{k-1}$ стандартный $(k-1)$-мерный симплекс, а $f_i=f\circ {ϵ}_i$, где ${ϵ}_i$ — это его отображение на $i$-ю грань стандартного симплекса ${\mathrm{\Delta }}^k(⟨a_0,...\widehat{a_i},...a_k⟩)$.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что $\partial \partial =0$.

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей $c_k$, что $\partial c_k=0$, и границ — цепей $c_k=\partial c_{k+1}$ для некоторого $c_{k+1}$.

Факторгруппа группы циклов по группе границ $H_k=Z_k/B_k$ называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки $X=*$.

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение $f^k:{\mathrm{\Delta }}^k\to *$.

Граница симплекса ${\partial }_k({\mathrm{\Delta }}^k,f^k)=\sum (-1{)}^i({\mathrm{\Delta }}^{k-1},f_i^{k-1})$, где все $f_i^{k-1}$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим $f^{k-1}$).

Значит:

$\partial ({\mathrm{\Delta }}^k,f^k)=0$, если $k$ нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

$\partial ({\mathrm{\Delta }}^k,f^k)=({\mathrm{\Delta }}^{k-1},f^{k-1})$, если $k=0$ и четно;

$\partial ({\mathrm{\Delta }}^k,f^k)=0$, если $k=0$.

Отсюда получаем для нулевой размерности: $Z_0=C_0=\mathbb{Z};B_0=0;H_0=\mathbb{Z}.$

Для нечётной размерности $k=2n-1:Z_k=C_k=\mathbb{Z};B_k=\mathbb{Z};H_k=0.$

Для чётной размерности $k=2n=0:Z_k=0;B_k=0;H_k=0.$

То есть группа гомологий равна $\mathbb{Z}$ для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.