Синтетический контроль

Сравнение реального благосостояния жителей ФРГ после объединения с ГДР в 1990 и гипотетического, если бы объединения не состоялось, с опорой на данные других стран ОЭСР.

Синтетический контроль (Шаблон:Lang-en, SCM) — эконометрический метод анализа данных в рамках Шаблон:Нп4, позволяющий проводить Шаблон:Нп4 в сравнительных кейс-стади. Метод направлен на оценку эффектов исследуемого воздействия (например, экономической реформы) на примере небольшого числа кейсов с помощью моделирования их количественных показателей в гипотетической ситуации, где воздействие не было оказано, на основе ограниченного круга похожих контрольных наблюдений посредством присвоения этим переменным определённых весов.

Формальный вывод

Рассмотрим $i$-й регион, или какой-то другой объект наблюдения, причём $i=1,\dots ,J+1$, где $J+1$ — число регионов, среди которых 1 испытал на себе исследуемое воздействие, а остальные $J$ — нет, являясь контрольной группой (их совокупность называется «пулом доноров», Шаблон:Lang-en), в период времени $t$, где $t=1,\dots ,T$.

Пусть исследуемое воздействие будет оказано в период $T_0+1$, где $1\le T_0<T$, и тогда $T_0$ — число периодов до воздействия. Обозначим отклик показателя в регионе $i$ в период времени $t$ в отсутствие исследуемого воздействия через $Y_{it}^N$, а в его присутствие — $Y_{it}^I$. Сделаем допущение о том, что при $t=1\dots T_0$, $Y_{it}^N=Y_{it}^I$: до наступления исследуемого воздействия, оно не оказывает эффекта на отклик в выбранном регионе. Также допустим, что воздействие, имевшее место в рассматриваемом регионе, не оказывает влияния на регионы из контрольной группы. Эффект исследуемого воздействия обозначим как $a_{it}=Y_{it}^I-Y_{it}^N$. Поскольку воздействие имеет место только в $i=1$ и $t>T_0$, целью SCM является определение $a_{1t}=Y_{1t}^I-Y_{1t}^N$, где $Y_{1t}^I=Y_{1t}$ — собственно, наблюдаемый в рассматриваемом регионе показатель, а $Y_{1t}^N$ — ненаблюдаемый отклик, который можно представить в качестве следующей факторной модели:

$Y_{it}^N={\delta }_t+{\mathit{\theta }}_t{𝐙}_i+{\mathit{\lambda }}_t{\mathit{\mu }}_i+{ϵ}_{it},$

где

${\delta }_t$

— общий для всех регионов фактор,

${𝐙}_i$

— вектор наблюдаемых, независимых от воздействия ковариат,

${\mathit{\theta }}_t$

— вектор их оценённых для данной выборки регионов коэффициентов,

${\mathit{\lambda }}_t$

— вектор ненаблюдаемых латентных факторов,

${\mathit{\mu }}_i$

— вектор соответствующих им факторных нагрузок и

${ϵ}_{it}$

— специфичности, или шум. Эту модель можно переписать в виде:

$\sum _j{w}_j{Y}_{it}^N={\delta }_t+{\mathit{\theta }}_t\sum _j{w}_j{𝐙}_i+{\mathit{\lambda }}_t\sum _j{w}_j{\mathit{\mu }}_i+\sum _j{w}_j{ϵ}_{it},$

где $w_j$ — это $j$-тое значение вектора $𝐖=(w_2,\dots ,w_{J+1}{)}^{\prime }$, такого, что $\mathrm{\forall }j:w_j>0\wedge \sum _j{w}_j=1$. Метод синтетического контроля заключается в подборе такого набора весов $({\tilde{w}}_2,\dots ,{\tilde{w}}_{J+1}{)}^{\prime }$, что при $t\le T_0$, $\sum _j{\tilde{w}}_j{Y}_{jt}=Y_{1t}$ (то есть до воздействия веса сохраняют наблюдаемое значения отклика неизменным) и $\sum _j{\tilde{w}}_j{𝐙}_j={𝐙}_1$ (и при этом эти веса позволяют точно моделировать ковариаты рассматриваемого региона через ковариаты регионов контрольной группы).

В литературе было показано, что если отклонения специфичностей ${ϵ}_{it}$ незначительны при данном $T_0$, размере периода до воздействия, $Y_{1t}^N-\sum _j{w}_j{Y}_{it}\to 0$, то есть разница между моделируемым, ненаблюдаемым откликом в отсутствие воздействия и взвешенным, но наблюдаемым в его присутствии, в таких условиях ничтожно. Соответственно, предлагается такая оценка эффекта воздействия ($a_{it}=Y_{it}^I-Y_{it}^N$)Шаблон:Rp:

${\hat{a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum _j{\tilde{w}}_j{Y}_{jt}$

Оптимизация алгоритма

С вычислительной точки зрения, расчёт искомых весов связан с минимизацией по вектору весов $𝐖$ нормы $\Vert {𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖\Vert$, где ${𝐗}_1$ — вектор значений ковариатов для исследуемого региона до момента $T_0+1$, а ${𝐗}_0$ — матрица значений ковариатов для контрольных регионов. Вне зависимости от выбора исследователем положительно определённой матрицы $𝐕$, оптимизируемая норма раскрывается как $\Vert {𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖{\Vert }_{𝐕}=\sqrt{({𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖{)}^{\prime }𝐕({𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖)}$ Шаблон:Rp.

Для того, чтобы получить конечное значение $𝐕$, проводят внешнюю оптимизацию по параметру $𝐕$ с использованием коэффициентом дисконтирования $\beta$, повышающим вес недавних наблюдений. Эту оптимизацию можно описать следующим образом: $\sum _{t=1}^T{\beta }^{T-t}{(Y_{1t}-\sum _{j=2}^{J+1}{\tilde{W}}_j(V)Y_{jt})}^2\to min$, где $\widetilde{𝐖}$ — вектор минимальных весов, полученный на предыдущем этапеШаблон:Rp.

Статистическая значимость результатов

Определение статистической значимости полученных оценок может быть проведено посредством различных техник. В статье 2003 года, оценивающей влияние терроризма и прочих проявлений политического насилия на экономику Страны Басков, рассчитанный эффект был подвергнут т. н. плацебо-тесту (placebo test), заключавшемуся в осуществлении идентичного алгоритма синтетического контроля к Каталонии, также известной своим значительным сепаратистским движением, но не испытывавшей проблем с террористическими проявлениями этого движения.

Плацебо-тесты в литературе, использующей метод синтетического контроля, являются примером непараметрических пермутационных тестов. Моделирование синтетического отклика для всех контрольных кейсов в выборке позволяет в явном виде работать с вероятностным распределением и проверять нулевую гипотезу об отсутствии казуальных эффектов в рассматриваемом кейсе. При этом нет необходимости асимптотически приближать распределение этих эффектов у контрольных кейсов к тому или иному распределению, что и делает тесты подобного типа пермутационными.

Синтетический контроль как метод предсказания

В литературе было предложено использовать SCM не только для оценки причинно-следственных связей, но и построения прогнозов. В рамках пилотного исследования была предпринята попытка спрогнозировать экономический рост в Соединённых Штатах Америки, однако использующийся для получения весов «пул доноров» состоял уже не из стран с похожими характеристиками, но из показателей экономического роста с определённым временным лагомШаблон:Rp.

Синтетический контроль и другие методы

Синтетический контроль совмещает элементы других каузальных статистических методов: Шаблон:Нп4 и Шаблон:Нп4.

По сравнению с разностью разностей синтетический контроль предлагает более упорядоченную процедуру подбора весов для наблюдений из контрольной группы, использует больший временной промежуток перед воздействием и требует максимально возможного приближения характеристик контрольной группы к характеристикам исследуемого объекта в ходе подбора весов.

Метод синтетического контроля обладает набором сходств с линейной регрессией. Так и синтетический контроль, и регрессионный анализ предполагают линейную комбинацию весов и переменных (в последнем веса, как правило, называются регрессионными коэффициентами), причём сумма весов равняется 1. Основным различием является то, что в SCM значения этих весов заключены в $[0,1]$, тогда как в регрессионном анализе такого ограничения нет и коэффициенты практически не интерпретируются как весаШаблон:Rp Так контрфактуальная Германия из исследования 2015 года была «синтезирована» на основании подушного ВВП, уровня инвестиций, торговой открытости, количества школ и доли промышленности в прибавочном продукте Австрии (42%), США (22%), Японии (16%), Швейцарии (11%) и Нидерландов (9%).

Симуляции показали, что панельный метод Сяо (фиксированные эффекты с эффектами взаимодействия) для исследования каузальных эффектов является менее робастным к изменению в пуле доноров, нежели синтетический контроль, хотя использование обоих подходов приводит к удовлетворительным результатам. Отмечалось, что синтетический контроль является более предпочтительным, если у исследователя есть данные по дополнительным временным периодамШаблон:Rp.

Применение

Область применения метода синтетического контроля охватывает исследования политики в сфере здравоохранения, криминологию, политическую науку, различные разделы экономики.

В политологии SCM рассматривается как компромисс между конвенциональными количественными и качественными методами, позволяющий совмещать фокус на одном или нескольких кейсах со строгими критериями их подбора. Посредством этого метода изучались: экономический эффект от объединения Германии для собственно ФРГ, последствия Шаблон:Нп4 для расходов на социальное обеспечение.

В географии SCM используется в исследованиях антропогенных ландшафтов (в рамках land systems science)Шаблон:Rp.

В статистических пакетах

Существуют пакеты для анализа данных посредством метода синтетического контроля в статистическом программном обеспечением. Для языка R был разработан пакет Synth.

См. также

• Метод инструментальных переменных