Система Трахтенберга

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере. Состоит из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел и другого.

Общее умножение

Пусть даны два числа — $a$ и $b$, выглядящие в десятичной записи как $\dots a_2{a}_1{a}_0$ и $\dots b_2{b}_1{b}_0$. Стандартный алгоритм умножения $a$ на $b$ предписывает умножить $a$ на все разряды $b_0,b_1,b_2,\dots$ по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать $n$-ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и $\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$, не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

$\sum _i{a}_{i}10^i\cdot \sum _j{b}_{j}10^j$

по дистрибутивности: слагаемые $a_i{b}_{j}10^{i+j}$ с $i+j<n$ влияют на разряд $10^n$ только в виде переноса, а с $i+j>n$ — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

перенос	$\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$	Всего	Цифра
0	5*1	5	5
0	4*1+5*2	14	4
1	3*1+4*2	11	2
1	2*1+3*2	8	9
0	1*1+2*2	5	5
0	1*2	2	2

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

Частные правила умножения

Умножение на 11

Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 3425 × 11 = 37675

3425 × 11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675

Умножение на 12

Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 2413 × 12 = 28956

2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956

Умножение на 13

Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5876 × 13 = 76388

5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388

Умножение на 14

Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 4859 × 14 = 68026

4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026

Умножение на 17

Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5739 × 17 = 97563

5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563

В культуре

• Метод упоминается в фильме «Одарённая» (2017)

Литература

• Trachtenberg, J. (1960). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу, 1967.
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105—1110, 2012.