Складной нож (статистика)

Складной нож (Шаблон:Lang-en) — один из методов ресэмплинга (линейное приближением статистического бутстрэпа), используемый для оценки погрешности в статистическом выводе. Способ заключается в следующем: для каждого элемента вычисляется среднее значение выборки без учёта данного элемента, а затем — среднее всех таких значений. Для выборки из N элементов оценка получается путём вычисления среднего значения остальных N-1 элементов.

Этот метод разработал Морис Кенуй (Maurice Quenouille 1949, 1956) с целью уменьшения погрешности оценки отдельного образца. Джон Тьюки в 1958 году расширил его возможности и предложил название «складной нож», потому что его действие напоминает складной нож — простой инструмент, которым можно решить множество различных проблем, пускай и менее эффективно, чем при помощи предназначенных для этого средств. Он может помочь улучшить оценку в случае когда данные распределены неравномерно.

Оценка

Оценочные параметры могут быть найдены как среднее значение элементов выборки без i-го элемента (назовем их ${\overline{x}}_i$).

${\overline{x}}_i=\frac{1}{n-1}\sum _{j\ne i}^n{x}_j$

Дисперсионная оценка

Оценка дисперсии параметров может быть вычислена по формуле:

${\mathrm{Var}}_{\mathrm{(}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{)}}=\frac{n-1}{n}\sum _{i=1}^n({\overline{x}}_i-{\overline{x}}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}{)}^2=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n(\frac{\sum _{j=1}^n{x}_j}{n}-x_i{)}^2$

где ${\overline{x}}_i$ — это оценочные параметры, а ${\overline{x}}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}=\frac{1}{n}\sum _i^n{\overline{x}}_i$ — оценка, основанная на всех элементах.

Другими словами оценка дисперсии — это среднее арифметическое квадратов разности среднего арифметического всех элементов и данного.

Оценка и коррекция смещения

Данный метод может быть использован для оценки погрешности параметра относительно всей выборки. Введем $\hat{\theta }$, как оценку параметра на основе всех данных:

$\hat{\theta }=\frac{{\mathrm{Var}}_{\mathrm{(}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{)}}}{n-1}$

${\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{)}}$

${\widehat{\text{Bias}}}_{\mathrm{(}\mathrm{\theta }\mathrm{)}}=(n-1)({\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}-\hat{\theta })$