Слегка избыточное число

Слегка избыточное число (квазисоверше́нное число) — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.

Шаблон:ЯкорьНесмотря на поиски таких чисел со времён Пифагора, по состоянию Шаблон:На не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Установлен лишь следующий факт: если слегка избыточные числа существуют, то они должны быть больше 10³⁵ и иметь не менее 7 различных простых делителей.

Поскольку сумму собственных делителей $S$ натурального числа $x$ можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число — $S(x)=\sigma (x)-x$, так как по определению для слегка избыточных чисел $S(x)=x+1$, то $\sigma (x)=2x+1$ — нечётное. Таким образом, в произведении:

$\sigma (x)=(1+p_1+p_1^2+\dots +p_1^{k_1})(1+p_2+p_2^2+\dots +p_2^{k_2})\dots (1+p_n+p_n^2+\dots +p_n^{k_n})$,

где $x=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_n^{k_n}$, все множители нечётные.

Для нечётного $p_i$ сумма $1+p_i+p_i^2+\dots +p_i^{k_i}$ будет нечётной только при чётном $k_i$.

Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма $1+2+2^2+\dots +2^k$ всегда нечётна.

Слегка избыточное число является либо полным квадратом, либо удвоенным квадратом.

Литература

• Шаблон:Статья