Снарк Лупикайна

Снарки Лупикайна (Шаблон:Lang-en) — это два снарка, оба с 22 вершинами и 33 рёбрами. Для этих снарков встречается также название Снарки Голдберга — ЛупикайнаШаблон:R. Название «снарки Лупикайна» ввёл Айзекс в статье 1978 годаШаблон:R, в которой он описал их построение.

Снарки Лупикайна нашли независимо Колльер и Шмейхель в 1978 году и ошибочно посчитали их «двумя новыми кубическими гипогамильтоновыми графами»Шаблон:RШаблон:R.

Построение

В 1976 году Фёдор Лупикайн создал метод построения новых снарков из уже известныхШаблон:R, в частности, приведённые в данной статье снарки можно получить этим построением из графа ПетерсенаШаблон:R.

Первый снарк Лупикайна можно описать следующим образом (используя синтаксис Sage):

lou1 = Graph({1:[2,3,4],

5:[6,10],6:[7],7:[8],8:[9],9:[10],

11:[16,12],12:[13],13:[14],14:[15],15:[16],

17:[2,5,16],18:[2,10,11], 19:[3,7,12],20:[3,6,13], 21:[9,4,14],22:[4,8,15]}).

Второй снарк Лупикайна получается (с точностью до изоморфизма) путём замены рёбер 5–6 и 11–12 на рёбра 5–12 и 6–11 в первом графе.

Свойства

Оба снарка имеют одни и те же инварианты (как видно выше в информационных блоках). Множеством всех автоморфизмов графа является диэдральная группа $D_6$. Орбиты под действием группы $D_6$:

1

2,3,4

17, 18, 19, 20, 21, 22

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Шаблон:Clear Характеристические многочлены снарков отличаются и равны

${\chi }_1=(x-3)(x+2{)}^3(x^3+x^2-4x-2)(x^3-2x^2-x+1{)}^2\cdot (x-2)(x^2+2x-2)(x^3-3x+1{)}^2$

${\chi }_2=(x-3)(x+2{)}^3(x^3+x^2-4x-2)(x^3-2x^2-x+1{)}^2\cdot x(x^2-2)(x^3-5x+3{)}^2$