Список кристаллографических групп

Шаблон:Информационный список Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Легенда к списку

Символ Германа — Могена

Шаблон:Main Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

• P — примитивная;
• I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
• F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
• С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
• R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

Классы

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):

• $n$ — ось симметрии n-го порядка.
• $\overline{n}$ — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
• $m$ — плоскость симметрии.
• $nm$ или $nmm$ — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
• $\frac{n}{m}$ — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
• $n2$ — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $n/mmm$ — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
• $\overline{n}m2$ или $\overline{n}2m$ (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, $\frac{n}{2}$ плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и $\frac{n}{2}$ осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $\overline{n}m$ (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ Шёнфлиса

• С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
• C_nv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

• D_nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

• O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
• T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 групп

Номер	Класс	Число групп	Символ Германа-Могена	Символ Шёнфлиса	Изображение
Триклинная система
1	$1$	1	$P1$	$C_1$
2	$\overline{1}$	1	$P\overline{1}$	$C_i$
Моноклинная система
3-5	$2$	3	$P2$ $P{2}_1$ $C2$	$C_2$	Внешне человек обладает $C_s$ симметрией.
6-9	$m$	4	$Pm$ $Pc$ $Cm$ $Cc$	$C_s$
10-15	$2/m$	6	$P2/m$ $P{2}_1/m$ $C2/m$ $P2/c$ $P{2}_1/c$ $C2/c$	$C_{2h}$
Ромбическая система
16-24	$222$	9	$P222$ $P222_1$ $P{2}_1{2}_{1}2$ $P{2}_1{2}_1{2}_1$ $C222_1$ $C222$ $F222$ $I222$ $I{2}_1{2}_1{2}_1$	$D_2$	Рельсы обладают $C_{2v}$ симметрией.
25 - 46	$mm2$	22	$Pmm2$ $Pmc{2}_1$ $Pcc2$ $Pma2$ $Pca{2}_1$ $Pnc2$ $Pmn{2}_1$ $Pba2$ $Pna{2}_1$ $Pnn2$ $Cmm2$ $Cmc{2}_1$ $Ccc2$ $Amm2$ $Aem2$ $Ama2$ $Aea2$ $Fmm2$ $Fdd2$ $Imm2$ $Iba2$ $Ima2$	$C_{2v}$
47-74	$mmm$	28	$Pmmm$ $Pnnn$ $Pccm$ $Pban$ $Pmma$ $Pnna$ $Pmna$ $Pcca$ $Pbam$ $Pccn$ $Pbcm$ $Pnnm$ $Pmmn$ $Pbcn$ $Pbca$ $Pnma$ $Cmcm$ $Cmce$ $Cmmm$ $Cccm$ $Cmme$ $Ccce$ $Fmmm$ $Fddd$ $Immm$ $Ibam$ $Ibca$ $Imma$	$D_{2h}$
Тетрагональная система
75-80	$4$	6	$P4$ $P{4}_1$ $P{4}_2$ $P{4}_3$ $I4$ $I{4}_1$	$C_4$	$C_4$ Симметрия.
81-82	$\overline{4}$	2	$P\overline{4}$ $I\overline{4}$	$S_4$
83-88	$4/m$	6	$P4/m$ $P{4}_2/m$ $P4/n$ $P{4}_2/n$ $I4/m$ $I{4}_1/a$	$C_{4h}$
89-98	$422$	10	$P422$ $P42_{1}2$ $P{4}_{1}22$ $P{4}_1{2}_{1}2$ $P{4}_{2}22$ $P{4}_2{2}_{1}2$ $P{4}_{3}22$ $P{4}_3{2}_{1}2$ $I422$ $I{4}_{1}22$	$D_4$
99-110	$4mm$	12	$P4mm$ $P4bm$ $P{4}_{2}cm$ $P{4}_{2}nm$ $P4cc$ $P4nc$ $P{4}_{2}mc$ $P{4}_{2}bc$ $I4mm$ $I4cm$ $I{4}_{1}md$ $I{4}_{1}cd$	$C_{4v}$
111-122	$\overline{4}2m$	12	$P\overline{4}2m$ $P\overline{4}2c$ $P\overline{4}{2}_{1}m$ $P\overline{4}{2}_{1}c$ $P\overline{4}m2$ $P\overline{4}c2$ $P\overline{4}b2$ $P\overline{4}n2$ $I\overline{4}m2$ $I\overline{4}c2$ $I\overline{4}2m$ $I\overline{4}2d$	$D_{2d}$
123-142	$4/mmm$	20	$P4/mmm$ $P4/mcc$ $P4/nbm$ $P4/nnc$ $P4/mbm$ $P4/mnc$ $P4/nmm$ $P4/ncc$ $P{4}_2/mmc$ $P{4}_2/mcm$ $P{4}_2/nbc$ $P{4}_2/nnm$ $P{4}_2/mbc$ $P{4}_2/mnm$ $P{4}_2/nmc$ $P{4}_2/ncm$ $I4/mmm$ $I4/mcm$ $I{4}_1/amd$ $I{4}_1/acd$	$D_{4h}$	Кристаллическая решётка циркона имеет $I{4}_1/amd$ симметрию.
Тригональная система
143-146	$3$	4	$P3$ $P{3}_1$ $P{3}_2$ $R3$	$C_3$	Молекула боразана обладает $C_{3v}$ симметрией.
147-148	$\overline{3}$	2	$P\overline{3}$ $R\overline{3}$	$C_{3i}$
149-155	$32$	7	$P312$ $P321$ $P{3}_{1}12$ $P{3}_{1}21$ $P{3}_{2}12$ $P{3}_{2}21$ $R32$	$D_3$
156-161	$3m$	6	$P3m1$ $P31m$ $P3c1$ $P31c$ $R3m$ $R3c$	$C_{3v}$
162-167	$\overline{3}m$	6	$P\overline{3}1m$ $P\overline{3}1c$ $P\overline{3}m1$ $P\overline{3}c1$ $R\overline{3}m$ $R\overline{3}c$	$D_{3d}$
Гексагональная система
168-173	$6$	6	$P6$ $P{6}_1$ $P{6}_5$ $P{6}_2$ $P{6}_4$ $P{6}_3$	$C_6$	Пчелиные соты обладают $C_{6h}$ симметрией.
174	$\overline{6}$	1	$P\overline{6}$	$C_{3h}$
175-176	$6/m$	2	$P6/m$ $P{6}_3/m$	$C_{6h}$
177-182	$622$	6	$P622$ $P{6}_{1}22$ $P{6}_{5}22$ $P{6}_{2}22$ $P{6}_{4}22$ $P{6}_{3}22$	$D_6$	Файл:Nanotube 6 9-spheres.jpg Нанотрубка может обладать $D_{6h}$ симметрией.
183-186	$6mm$	4	$P6mm$ $P6cc$ $P{6}_{3}cm$ $P{6}_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	$\overline{6}m2$	4	$P\overline{6}m2$ $P\overline{6}c2$ $P\overline{6}2m$ $P\overline{6}2c$	$D_{3h}$
191-194	$6/mmm$	4	$P6/mmm$ $P6/mcc$ $P{6}_3/mcm$ $P{6}_3/mmc$	$D_{6h}$
Кубическая система
195-199	$23$	5	$P23$ $F23$ $I23$ $P{2}_{1}3$ $I{2}_{1}3$	$T$	Структура алмаза имеет $Fd\overline{3}m$ симметрию.
200-206	$m\overline{3}$	7	$Pm\overline{3}$ $Pn\overline{3}$ $Fm\overline{3}$ $Fd\overline{3}$ $Im\overline{3}$ $Pa\overline{3}$ $Ia\overline{3}$	$T_h$
207-214	$432$	8	$P432$ $P{4}_{2}32$ $F432$ $F{4}_{1}32$ $I432$ $P{4}_{3}32$ $P{4}_{1}32$ $I{4}_{1}32$	$O$
215-220	$\overline{4}3m$	6	$P\overline{4}3m$ $F\overline{4}3m$ $I\overline{4}3m$ $P\overline{4}3n$ $F\overline{4}3c$ $I\overline{4}3d$	$T_d$
221-230	$m\overline{3}m$	10	$Pm\overline{3}m$ $Pn\overline{3}n$ $Pm\overline{3}n$ $Pn\overline{3}m$ $Fm\overline{3}m$ $Fm\overline{3}c$ $Fd\overline{3}m$ $Fd\overline{3}c$ $Im\overline{3}m$ $Ia\overline{3}d$	$O_h$

В других размерностях

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| .. 

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификация

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. также

• Кристаллографическая группа
• 11 классов Лауэ

Литература

• Шаблон:Публикация

Ссылки

• Пособие по пространственным группам
• Изображения всех 230 групп