Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел $x_{1}, \dots, x_{n}$ с вещественными весами $w_{1}, \dots, w_{n}$ , такими что $\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \neq 0$ , определяется как^[1]

\bar{x} = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}})}^{1 / \sum_{i = 1}^{n} w_{i}} = \exp (\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \ln x_{i})

.

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые $x_{i} = 0$ и соответствующие веса $w_{i} \leq 0$ . Поэтому, как правило, полагают, что все числа $x_{i} > 0$ . Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса $w_{1}, \dots, w_{n}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

\bar{x} = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} = \exp \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \ln x_{i}

.

Свойства

Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
Если все веса $w_{i}$ ( $i = 1, 2, . . ., n$ ) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.

Пример использования

Пусть дано дискретное распределение вероятностей $P = {p_{i} | i = 1, 2, . . ., N}$ . Обозначим через $\overline{N}$ среднее геометрическое взвешенное от величин $1 / p_{i}$ с весами $p_{i}$ , т.е.