Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста или состоятельные при гетероскедастичности и автокорреляции стандартные ошибки (HAC s.e. — Heteroskedasticity and Autocorrelation consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы МНК-оценок (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при гетероскедастичности и автокорреляции случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки и стандартных ошибок в форме Уайта).

Сущность и формула

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

$V({\hat{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-1}(X^{T}VX)(X^{T}X{)}^{-1}$

где $V$ — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда $V={\sigma }^{2}I$) формула упрощается

$\hat{V}({\hat{b}}_{OLS})={\sigma }^2(X^{T}X{)}^{-1}$

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: ${\hat{\sigma }}^2=RSS/(n-k)$, которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой. При наличии гетероскедастичности, но без автокорреляции, матрица V диагональна и вместо этих диагональных элементов можно использовать квадраты остатков и получить состоятельные оценки (стандартные ошибки в форме Уайта). В общем случае, кроме гетероскедастичности, может иметь место также и автокорреляция некоторого порядка. Следовательно, кроме диагональных элементов, необходимо оценить внедиагональные элементы, отстоящие от диагонали на L. Ньюи и Уест (Newey, West, 1987) показали, что состоятельными являются оценки следующего вида:

$\hat{V}({\hat{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-1}(\sum _{t=1}^n{e}_t^2{x}_t{x}_t^T+\sum _{j=1}^L\sum _{t=j+1}^n{w}_j{e}_t{e}_{t-j}(x_t{x}_{t-j}^T+x_{t-j}{x}_t^T))(X^{T}X{)}^{-1}$

Данная оценка, как видно из формулы, зависит от выбранной «ширины окна» L и весовых коэффициентов $w_j$. Простейший вариант выбора весов — выбрать их равными единице. Однако в этом случае не обеспечивается необходимая положительная определенность матрицы. Второй вариант — веса Бартлета $w_j=1-j/(L+1)$. Однако более предпочтительным вариантом считаются веса Парзена:

$w_j=\{\begin{array}{c}1-6(\frac{j}{L+1}{)}^2+6(\frac{j}{L+1}{)}^3,j⩽(L+1)/2\\ 2(1-\frac{j}{L+1}{)}^2,j>(L+1)/2\end{array}$

Существует также проблема выбора «ширины окна» L. Обычно рекомендуется следующая оценка $L=[4(n/100{)}^{2/9}]$

Замечание

Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель $n/(n-k)$. Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также

• Стандартные ошибки в форме Уайта
• Обобщенный метод наименьших квадратов

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга