Статистический риск

Статистический риск — математическое ожидание функции потерь.

Виды статистического риска

В зависимости от способа усреднения выделяют следующие типы статистического риска R(u):

• средний риск или безусловный риск;
• условный риск.

Средний риск

Средний риск — это риск $R\left(u\right)$, определяемый по формуле:

$R\left(u\right)=\underset{U}{\int }\underset{X}{\int }C(u\left(Y\right),x)\cdot W(u\left(Y\right),x)dxdY$,

где

$C(u\left(Y\right),x)$ — функция потерь,

$Y$ — реализация наблюдаемых данных на интервале времени $[0,t)$,

$u(\cdot )$ — решающее правило или алгоритм обработки реализации наблюдаемых данных $Y$

$x$ — вектор информационных параметров, то есть параметров, в которых содержится информация,

$W(u\left(Y\right),x)$ — совместная плотность вероятности $u\left(Y\right)$ и $x$.

Условные риски

Совместная плотность вероятности может быть записана с использованием условной плотности вероятности следующим образом (по формуле Байеса):

$W(u\left(Y\right),x)=W(x\mid u\left(Y\right))\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)$.

Следовательно, средний риск $R\left(u\right)$ равен

$R\left(u\right)=\underset{U}{\int }\underset{X}{\int }C(u\left(Y\right),x)\cdot W(x\mid u\left(Y\right))\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)dxdY$,

где условный риск $R_p$${}_s(u)$ вида

$R_p$${}_s(u)=\underset{X}{\int }C(u\left(Y\right),x)\cdot W(x\mid u\left(Y\right))\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)dx$

называется апостериорным риском.

Условный риск вида

$R(u)=\underset{X}{\int }C(u\left(Y\right),x)\cdot W(u\left(Y\right)\mid x)dx$

называется функцией риска.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга