Стефановское течение

Стефановское течение — это явление возникновения гидродинамического течения среды в процессе испарения или роста капель.

Основной причиной возникновения этого течения является условие полного механического равновесия молекул парогазовой среды и капли.

Средний объём на одну молекулу в жидкости значительно меньше среднего объёма на одну молекулу в газе. В случае испаряющейся капли это приводило бы к тому, что концентрация паров у поверхности капли уменьшалась, что приводило бы к падению давления. Соответственно чтобы скомпенсировать этот скачок давления среда обязательно должна стягиваться к поверхности капли, образуя гидродинамическое течение среды, называемое стефановским течением.

Это явление играет большую роль в формировании климата. Его учёт очень важен в расчётах процессов переноса влаги на большие расстояния. Например известный факт, что естественный лес закачивает влажный воздух с океана, компенсируя гравитационный сток воды на больших расстояниях. Это объясняется тем что лес имеет огромную площадь поверхности за счёт листьев, на которых могут оседать капли, которые в процессе испарения могут создать течение среды, распространяющееся на значительные расстояния.

Пример: Влияние стефановского течения в задаче о квазистационарном испарении капли

Рассматривается однородная сферическая капля воды, неподвижная относительно бесконечно протяжённой изотропной среды.

Ясно, что в процессе испарения капель очевидно должна поглощаться энергия в виде тепла. В рассматриваемой задаче эти изменения не учитываются. Также в квазистационарном процессе испарения зависимость скорости изменения размеров капли от времени не учитывается в силу того, что эта скорость значительно ниже скорости гидродинамических потоков среды вокруг капли.

Однородная капля воды в парогазовой среде

Качественная зависимость распределения концентрации пара в парогазовой среде в процессе испарения капли.

Считаем, что концентрация пара у поверхности капли постоянна и равна равновесной концентрации насыщенного пара при заданной температуре над плоской границей раздела двух сред $n_{\mathrm{\infty }}$, а на удалении от капли равна $n_0$.

$n(r)=n_{\mathrm{\infty }}$, при $r=R$,

$n(r)=n_0$, при $r\to \mathrm{\infty }$.

Вследствие наличия разности концентрации возникает поток водяного пара из области большей концентрации в область меньшей концентрации.

Вследствие однородности среды вектор плотности этого потока $\overrightarrow{j}\left(r\right)$ прямо пропорционален градиенту концентрации $n\left(r\right)$, однако направлен в противоположную сторону. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом диффузии $D=const$.

$\overrightarrow{j}\left(r\right)=-D\frac{dn\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}$

Если считать, что процесс испарения капли связан только с этим потоком (решение стационарной задачи), то поток пара $I$ через любую концентрическую с каплей сферическую поверхность с радиусом $r$ есть величина постоянная $I_0$, и определяется выражением:

$I=-4\pi r^{2}D\frac{dn\left(r\right)}{dr}$.

Интегрирование этого выражения с учётом граничных условий приводит к формуле Максвелла.

$I=I_0=4\pi RD\left(n_{\mathrm{\infty }}-n_0\right)$

Приведённое решение предполагает, что существует лишь диффузионный поток пара из капли, однако, должно существовать гидродинамическое течение среды, направленное к поверхности капли. Причиной этого течения является постоянство полного давления $\tilde{P}\equiv P+P^{\prime }$ парогазовой среды (иначе в системе отсутствует механическое равновесие, что приводит к неоднородности среды).

Это условие приводит к тому, что наряду с градиентом парциального давления пара $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}P$ должен существовать равный и противоположно направленный градиент парциального давления газа $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{P}^{\prime }$, что можно записать в виде соотношения (здесь и далее все величины относящиеся к газовой компоненте среды будем обозначать штрихом):

$\frac{dP}{d\overrightarrow{r}}=-\frac{d{P}^{\prime }}{d\overrightarrow{r}}$.

Наличие второго градиента $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{P}^{\prime }$ приводит к появлению диффузионного потока газа к поверхности капли, однако в силу того, что суммарный поток $I^{\prime }$ газа на поверхности капли должен быть нулевым, существует обратный гидродинамический поток среды, компенсирующий его.

Сказанное выше может быть записано в виде уравнения:

$D\frac{d{n}^{\prime }\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{v}\left(r\right)n^{\prime }\left(r\right)$.

Имея в виду очевидное соотношение (давление пропорционально концентрации):

$\frac{d{n}^{\prime }\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}=-\frac{dn\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}$,

скорость гидродинамического течения среды $\overrightarrow{v}\left(r\right)$ выражается в виде:

$\overrightarrow{v}\left(r\right)=-\frac{D}{n^{\prime }\left(r\right)}\frac{dn\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}$.

В отличие от решения стационарной задачи, выражение для плотности потока пара $\overrightarrow{j}\left(r\right)$ теперь состоит из двух слагаемых — диффузионного и гидродинамического:

$\overrightarrow{j}\left(r\right)=-D\frac{dn\left(r\right)}{d\overrightarrow{r}}+\overrightarrow{v}\left(r\right)n\left(r\right)$.

Соответствующее этой плотности выражение для потока пара $I$ через поверхность капли записывается в виде:

$I=4\pi RD\left(n_{\mathrm{\infty }}-n_0\right)(1-\frac{n\left(r\right)}{n^{\prime }\left(r\right)})$.

Поправка на гидродинамическое течение среды, как видно, определяется отношением $n\left(r\right)/n^{\prime }\left(r\right)$ — отношение концентрации паров воды $n\left(r\right)$ к концентрации газа $n^{\prime }\left(r\right)$ в парогазовой среде. При нормальных условиях эта величина порядка 1 %.

Впервые на наличие гидродинамического течения среды вокруг испаряющейся капли указал Йозеф Стефан.

Соответствующий этому течению поток частиц парогазовой среды принято называть стефановским.