Сумма Римана

Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида $\sum f(x)\mathrm{\Delta }x$. Используется в определении интеграла Римана. Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана.

Определение

Пусть $f:D\to R$ является функцией определённой на подмножестве $D$ на вещественной прямой $R$. $I=[a,b]$ — замкнутый интервал содержащийся в $D$. $P=[x_0,x_1),[x_1,x_2),...[x_{n-1},x_n]$ является разбиением $I$, в котором $a=x_0<x_1<x_2...<x_n=b$.

Сумма Римана функции $f$ с разбиением $P$ определяется следующим образом:

$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{*})(x_i-x_{i-1})$

где $x_{i-1}⩽x_i^{*}⩽x_i$. Выбор $x_i^{*}$ в данном интервале является произвольным. Если $x_i^{*}=x_{i-1}$ для всех $i$, тогда $S$ называется левой суммой Римана. Если $x_i^{*}=x_i$, тогда $S$ называется правой суммой Римана. Если $x_i^{*}=\frac{1}{2}(x_i+x_{i-1})$, тогда $S$ называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

$S=\sum _{i=1}^n{v}_i(x_i-x_{i-1})$,

где $v_i$ является точной верхней границей множества $f$ на интервале $[x_{i-1},x_i]$, то $S$ называется верхней суммой Римана. Аналогично, если $v_i$ является точной нижней границей множества $f$ интервале $[x_{i-1},x_i]$, то $S$ называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения $x_i^{*}$ из интервала $[x_{i-1},x_i]$) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции $f$ и отрезка $[a;b]$ существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора $x_i^{*}$), то этот предел называют интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначается $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Литература

• Шаблон:Книга