Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именуемые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число $\omega$ является формальным произведением:

$\omega =\prod _p{p}^{n_p},$

где $p$ может быть любым простым числом, а каждое $n_p$ является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут $v_p(\omega )$ для обозначения $n_p$. Если не выполняется условие $n_p=\mathrm{\infty }$ и имеется только конечное число ненулевых $n_p$, получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число $\omega$ «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: $\prod _p{p}^{n_p}\cdot \prod _p{p}^{m_p}=\prod _p{p}^{n_p+m_p}$. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости ${\omega }_1\mid {\omega }_2$ если $v_p({\omega }_1)\le v_p({\omega }_2)$ для всех $p$. Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

$\mathrm{lcm}(\{{\omega }_i\})=\prod _p{p}^{\sup (v_p({\omega }_i))}$

$\gcd (\{{\omega }_i\})=\prod _p{p}^{\inf (v_p({\omega }_i))}$

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив $v_p(\omega )=n_p$ для каждого $p$.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки

• Planet Math: Supernatural number