Сфера Эвальда

Сфера Эвальда — это геометрическая конструкция, используемая в кристаллографии и дифракции, позволяющая найти направления на дифракционные максимумы.

Концепция была придумана Паулем Петером Эвальдом, немецким физиком и кристаллографом. Сам Эвальд говорил о сфере отражения.

Сферу Эвальда можно использовать для нахождения максимального разрешения, доступного для данной длины волны рентгеновского излучения и размеров элементарной ячейки. Модель также можно упростить до двумерной модели "круга Эвальда", которая также будет сферой Эвальда.

Построение Эвальда

Переход от реального пространства к обратному в случае дифракции на одномерной дифракционной решетке. Иллюстрация условия Лауэ.

Сфера Эвальда в двумерном пространстве, периоды решетки d1 и d2

Сфера Эвальда для диапазона длин волн

Построение может быть применимо не только в рентгеноструктурном анализе, но и для дифракции волн любого типа на периодических структурах. Волны, переотраженные от элементов периодической структуры интерферируют конструктивно и образуют максимум в заданном направлении тогда, когда выполняются условия Лауэ:

$𝐊\cdot 𝐚=(𝐤-{𝐤}_{\mathrm{𝟎}})\cdot 𝐚=2\pi m,$

где $𝐚$ — базисный вектор прямой решетки, ${𝐤}_{\mathrm{𝟎}}$ — волновой вектор падающей волны, $𝐤$ — волновой вектор дифрагированной волны, m — целое число.

В трехмерном случае, условие можно переписать как

$𝐊=𝐤-{𝐤}_{\mathrm{𝟎}}=m𝐪,$

где $𝐪$ — вектор обратной решетки. Эти формулы можно проиллюстрировать простым графическим построением, аналогичным иллюстрации направлению на порядки для дифракционной решетки.

Инструкция для построения сферы Эвальда  :

1. Выберите систему отсчета и постройте обратную решетку. При этом один из узлов обратной решетки находится в центре системы отсчета O.

2. Нарисуйте $𝐤$-вектор падающей волны так, чтобы его конец был в центре системы отсчета.

3. Постройте сферу радиуса $|k|=2\pi /\lambda$ с центром в начале $𝐤$-вектора A, сама сфера проходит через начало координат O.

4. Проверьте, пересекается ли сфера еще с каким-либо узлом обратной решетки.

5. Если да, то проведите отрезок из центра сферы A в точку пересечения с узлом обратной решетки, это и будет волновой вектор дифрагированной волны.

6. Завершите построение векторов всех порядков дифракции таким же образом.

С помощью построения можно проверить, что условие Брэгга — Вульфа также выполняется.

В случае диапазона длин волн, возбуждаются все порядки, которые попадают между сферами, соответствующими минимальной и максимальной длине волны.

См. также

• Дифракционная решётка
• Рентгеноструктурный анализ
• Дифракция Брэгга
• Условие Брэгга — Вульфа

Ссылки

• Вращение образца
• Кристаллография поверхности
• Видео-лекция Ewald Sphere
• Иллюстрация обратной решетки