Телескопический признак

Телескопический признак, или признак сгущения Коши, — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$ в данной теореме можно использовать любой ряд вида:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^{n}f(m^n)$, где $m\in \mathbb{N},m\ge 2$

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$ ряд вида:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}f([a{]}^n)$, где $a\in ℝ,a>1$

Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$.

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака: Шаблон:Теорема

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака, которое иногда приписывают ШлёмильхуШаблон:Sfn. Шаблон:Теорема

Например, если рассматривать последовательность $u_n=c^n$, которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном $c\in \mathbb{N}\setminus \{1\}$, то согласно указанной теореме ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $(c-1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^{n}f(c^n)$, а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^{n}f(c^n)$ при любой выбранной константе $c\in \mathbb{N},c\ne 1$.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга