Тензорное произведение алгебр

Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение

$A{\otimes }_{R}B$

также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида Шаблон:Nobr следующим образом Шаблон:Sfn

$(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2)=a_1{a}_2\otimes b_1{b}_2$

и затем продолжив эту операцию по линейности на всю Шаблон:Nobr. Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым Шаблон:Nobr , где 1 _A и 1 _B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

Свойства

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в Шаблон:Nobr, заданые следующим образом:

$a\mapsto a\otimes 1_B$

$b\mapsto 1_A\otimes b$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.

При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

$\text{Hom}(A\otimes B,X)\cong \{(f,g)\in \text{Hom}(A,X)\times \text{Hom}(B,X)\mid \mathrm{\forall }a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\},$

где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма $\varphi :A\otimes B\to X$ в левой части с парой морфизмов $(f,g)$ с правой стороны, где $f(a):=\varphi (a\otimes 1)$ и аналогично $g(b):=\varphi (1\otimes b)$.

Литература

• Шаблон:Cite book