Теорема Амицура — Левицкого

Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочленаШаблон:Переход степени $2n$ от произвольных матриц порядка $n$. Установлена и доказана Шаблон:Нп2 и Яковом Левицким в 1950 году. Прямое следствие этого результата — матрицы порядка $n$ образуют Шаблон:Не переведено 5 с минимальной степенью тождеств, равной $2n$.

Определения и формулировка

Шаблон:ЯкорьСтандартный многочлен степени $n$ — это:

$S_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }{x}_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}$,

где сумма берётся по всем $n!$ элементам симметрической группы $S_n$. Здесь $(-1{)}^{\sigma }$ означает знак перестановки $\sigma$, при этом $x_1,\dots ,x_n$ не коммутируют.

Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц $A_1,\dots ,A_{2n}$ порядка $n$ стандартный многочлен обращается в нуль:

$S_{2n}(A_1,\dots ,A_{2n})=0$.

Доказательства

Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.

Шаблон:Нп2 в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из теоремы Козюля — Самельсона о простых когомологиях алгебр ЛиШаблон:Sfn.

Шаблон:Нп2 в 1963 году дал простое комбинаторное доказательствоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с $n$ вершинами. Все матрицы вместе дают граф с $n$ вершинами и $2n$ направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин $A$ и $B$ графа число нечётных эйлеровых путей из $A$ в $B$ равно числу чётных. Сван показал, что при числе рёбер в графе $2n$ и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.

Размыслов в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — КэлиШаблон:Sfn.

Россет в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности $2n$Шаблон:Sfn.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья