Теорема Барбье

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Шаблон:Не переведено 3, описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины $a$ , тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса $a$ . С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса $a$ , то есть $π a$ .^[1]

Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии $d$ друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной $\frac{L}{π d}$ , где $L$ — периметр этой фигуры^[2]^[3]. Поскольку фигура постоянной ширины $a$ удовлетворяет условию этой теоремы для $d = a$ , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться $π a$ .^[4]

Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
Формула Крофтона