Теорема Башалье

Теорема Башелье (Теорема о расстоянии между центрами вписанных и описанных окружностей многоугольника) - названа в честь французского математика Луи Башалье, утверждает, что для любого многоугольника, вписанного в окружность, и окружности, описанной вокруг этого многоугольника, расстояние между их центрами равно модулю разности радиусов этих окружностей. Впервые была предъявлена и доказана в 1901 году.

Формулировка

Пусть дан многоугольник, вписанный в окружность радиуса $r_1$ с центром $O_1$, и окружность радиуса $r_2$ с центром $O_2$, описанная вокруг этого многоугольника. Тогда расстояние между центрами O1 и O2 равно модулю разности радиусов этих окружностей:

$O_1{O}_2=|r_2-r_1|$

Доказательство

Пусть A — точка на стороне многоугольника, такая что O1A перпендикулярна этой стороне. Точка A также лежит на описанной окружности.

Рассмотрим треугольник $O_{1}A{O}_2$. Он прямоугольный, потому что угол между радиусом и касательной к окружности равен 90 градусов, и радиусы, проведенные к точке касания окружностей, перпендикулярны касательным.

По теореме Пифагора, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно:

$O_1{O}_2=\sqrt{O_1{A}^2-O_2{A}^2}=|r_2-r_1|$